1、2.2 基基 本本 不不 等等 式式重要不等式重要不等式：a,bR，a2+b22ab.当且仅当当且仅当a=b时取时取“=”从这个不等式你能变形出哪些不等式？从这个不等式你能变形出哪些不等式？一、回顾一、回顾含义：含义：两数的两数的平方和平方和不小于它们不小于它们积积的的2倍倍基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.(0,0)2ababab二、基本不等式的推导与解释二、基本不等式的推导与解释探究探究 ：1.1.基本不等式的基本不等式的推导证明方法推导证明方法证明方法一：作差法证明方法一：作差法证明方法二：分析法证明方法二：分析法,2baab要证,2baab只要证,
2、02baab只要证,02ba只要证,02ba只要证显然成立。显然成立。中的等号成立。时，当且仅当02baba沟通了沟通了两个正数两个正数的的和和与与积积的不等关系，在实际的不等关系，在实际问题中有广泛的应用问题中有广泛的应用探究探究 ：3.3.说说说说基本不等式的几何意义基本不等式的几何意义探究探究 ：2.2.说说当且仅当的含义说说当且仅当的含义的等号成立，时，当2baabba2baabba即的等号成立，时，仅当2baabbababaab2即ab称为几何平均几何平均2ab+称为称为算术平均数算术平均数含义含义：两个：两个正数正数的的算术平均数算术平均数不小于它们的不小于它们的几何平均数几何平均
3、数.基本不等式的几何解释：基本不等式的几何解释：半径半径不小于不小于半弦半弦ABEDCab(0)20,ababab abab例例2 已知已知x,y都是正数，求证：都是正数，求证：(1)如果积如果积xy等于定值等于定值P，那么当，那么当x=y时，和时，和x+y取得最小取得最小值值 ；(2)如果和如果和x+y等于定值等于定值S，那么当，那么当x=y时，积时，积xy取得最大取得最大值值 .2 P214S说明：说明：1.正数；正数；2.定值；定值；3.取等取等.正数正数积积 定定和和 最小最小和和 定定积积 最大最大8.8.1)1)c c1 11)(1)(b b1 11)(1)(a a1 1(:求证求
4、证1,1,c cb b且a且a,R Rc cb,b,a,a,若例.1专题专题1:1:利用基本不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式accbbacbababaRcba111212121)2(;4111,.1）（证明：已知练习：31231)1(:.1,.2222cbaacbcabcbaRcba）（证明且设.425)1)(1(:,1,0,0bbaababa求证探讨：已知41.20,0,1ababbababa证法一（比较法）：048414833442511425112222abababababbaabbabbaa.425)1)(1(bbaa.425)1)(1(:,1,0,0bbaababa求证探讨：
5、已知410.20,0,1ababbababa证法二：abbabaabbabbaa411111222222abababbbaa22)1)(1(2abbabababa211212222abab11216914341112abab而41ab且.425)1)(1(bbaa.425)1)(1(:,1,0,0bbaababa求证探讨：已知042544222abbaab欲证原式，只要证证法三（分析法）：0814,083342abababab只要证只要证841abab或只要证不可能成立8,1,0,0abbaba，从而得证。41.20,0,1ababbababa1.1.积为定值求和的最值积为定值求和的最值例例1
6、.已知已知x0，求，求x+的最小值的最小值.1x探究：不等式探究：不等式x+1成立吗？能说成立吗？能说1是是x+的最小值吗？的最小值吗？1x1x说明：最值必须是存在变量能取到！说明：最值必须是存在变量能取到！变式：变式：1.判断命题判断命题“的最小值为的最小值为2”的真假的真假.2.已知已知x1，求，求x+的最小值的最小值.22122xx 21x 专题专题2:2:利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值2.2.积为定值求和的最值积为定值求和的最值的最大值。求）已知（的最小值；求）已知（例54124,45254124,451.2xxxxxx的最小值。）求（的最大值；求，此时的最大值为时，）当练习
7、：（11830243)2(32823122xxxxxxxxxxx2.2.和为定值求积的最值和为定值求积的最值的最大值为则若例xxx23,320.3练习：练习：1.已知已知0 x0,b0,=2，则a+2b的最小值为 .24ab(3)已知x0,y0,2x+3y=3，则 +2的最小值为 .12xy 例例5 甲、乙两位商人分别两次从某商店购买大米，两甲、乙两位商人分别两次从某商店购买大米，两次购买的价格不同，甲每次购买次购买的价格不同，甲每次购买1吨，乙每次购买吨，乙每次购买1万万元，问谁的购买方式平均价格低廉？说明原因元，问谁的购买方式平均价格低廉？说明原因.思考：思考：已知已知ab0，试比较，试比较 的大小的大小.2,112aba babab 小结小结1.基本不等式及其使用范围；基本不等式及其使用范围；2.利用基本不等式求最值时，一正、二定、三等；利用基本不等式求最值时，一正、二定、三等；3.若若ab0，则，则2 2b ba a2 2b ba aababb b1 1a a1 12 22 22 2加权平加权平均数均数平方平平方平均数均数
