1、4.5.1 函数的零点与方程的解中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中桥中,方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们方程的求解是其中璀璨的一座。虽然今天我们可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一可以从教科书中了解各式各样方程的解法，但这一切却经历了相当漫长的岁月切却经历了相当漫长的岁月.约公元约公元50100年编成的年编成的九章算术九章算术给出了一次给出了一次方程、二次方程和正系数方程、二次方程和正系数三次方程的求解方法三次方程的求解方法.情境引入情境引入中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解1
2、313世纪，南宋数世纪，南宋数学家学家秦九韶秦九韶给出给出了求了求任意次代数任意次代数方程方程的的正根正根的解的解法。法。1111世纪，北宋数学家世纪，北宋数学家贾宪贾宪给出了给出了三次及三次以上三次及三次以上的方程的解法的方程的解法.情境引入情境引入中外历史上的方程求解中外历史上的方程求解 国外数学家对方程求解亦有很多研究。国外数学家对方程求解亦有很多研究。9世纪以后，先后发现了一次、二次、三世纪以后，先后发现了一次、二次、三次、四次方程的求解方法。次、四次方程的求解方法。由于实际问题的需要，我们经常需要寻求由于实际问题的需要，我们经常需要寻求函数函数y=f(x)的零点的零点。情境引入情境引
3、入画出下列函数的图象画出下列函数的图象(1)f(x)=x-1 f(x)=x2-2x+1(2)f(x)=f(x)=(3)f(x)=2x-1 f(x)=log2x1x,11,1x xx思考：思考：当函数和当函数和x轴有交点时，轴有交点时，其交点横坐其交点横坐标标与与方程方程 f(x)=0的解的解有什么关系？有什么关系？体验探究体验探究 再任意画几个函数的图象再任意画几个函数的图象,观察其图象，看观察其图象，看看看其交点横坐标其交点横坐标与与 f(x)=0的解的解有什么关系？有什么关系？对于函数对于函数 y=f(x),y=f(x),我们把使我们把使 f(x)=0 f(x)=0 的实数的实数x x叫做
4、函数叫做函数y=f(x)y=f(x)的零点。的零点。方程方程f(x)=0f(x)=0有实数根有实数根函数函数y=f(x)y=f(x)的图象与的图象与x x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)y=f(x)有零点有零点温馨提示温馨提示：零点是一个实数，不是坐标。零点是一个实数，不是坐标。062ln)3(065)2(023)1(2xxxxx32x23 xy21x32x652xxy62lnxxy思考思考?（1 1）函数都有零点吗？）函数都有零点吗？（2 2）什么条件下的函数必有零点？）什么条件下的函数必有零点？第第1 1组组第第2 2组组 思考思考:现在有两组镜头（如图），哪现在有两组镜头（如图），哪
5、一组能说明她的行程一定曾渡河一组能说明她的行程一定曾渡河?将河流抽象成将河流抽象成x轴，将两个位置视为轴，将两个位置视为A、B两点。设两点。设A、B两点的横坐标分别为两点的横坐标分别为a、b，过，过A、B两点画一条连续不两点画一条连续不断的函数曲线表示她的行走路径，试连线看看？哪种情断的函数曲线表示她的行走路径，试连线看看？哪种情形在形在(a，b)内与内与x轴在一定会有交点？轴在一定会有交点？ab x ab xab x ab x ab xab x观察二次函数观察二次函数f(x)=xf(x)=x2 22x2x3 3的图象的图象（课本（课本P P143143探究）探究）:由由f(-2)0,f(1)
6、0,f(1)0,f(2)f(1)0f(1)0则则(2,1)2,1)为函数为函数f(x)=xf(x)=x2 22x2x3 3的零点所在区间的零点所在区间.你能找出另外一个零点所在的区间吗？你能找出另外一个零点所在的区间吗？.xy0-132112-1-2-3-4-24如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是连续不断连续不断的一的一条曲线条曲线,并且有并且有f(a)f(a).f(b)0f(b)0,那么那么,函数函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点,即存在即存在c(a,b),c(a,b),使得使得f(c)=0,f(c)
7、=0,这个这个c c也也就是方程就是方程f(x)=0f(x)=0的根的根.二、零点存在性定理二、零点存在性定理若若在给定区间在给定区间a,b上连续上连续,则则f(a)f(a).f(b)0f(b)0f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内有零点内有零点判断正误判断正误,若不正确若不正确,请使用函数图象举出反例请使用函数图象举出反例 已知函数已知函数 y=f(x)在区间在区间a,b满足满足f(a)f(b)0,则则 f(x)在区间在区间(a,b)内存在零点内存在零点.()已知函数已知函数y=f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,且且f(a)f(b)0,则则f(x)在区间在区间(a,b)内
8、没有零点内没有零点.()已知函数已知函数 y=f(x)在区间在区间a,b上连续上连续,且且f(a)f(b)0,则则 f(x)在区间在区间(a,b)内有且仅有一个零点内有且仅有一个零点.()三、零点存在性定理的拓宽三、零点存在性定理的拓宽 给定理增加什么条件时,函数在区间(a,b)上只有一个零点?xxyy00aabb 如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是连续不连续不断的一条曲线断的一条曲线，f(a)f(b)0f(a)f(b)0单调函数单调函数 1.1.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+x-1+x-1在下列哪个区间有零点在下列哪个区间有零点（）
9、A.(-2A.(-2，-1);B.(0-1);B.(0，1);C.(11);C.(1，2);D.(22);D.(2，3)3)2.2.若函数若函数y=5xy=5x2 2-7x-1-7x-1在在(a,b)(a,b)内有零点，则内有零点，则f(a)f(a)f(b)f(b)的值是的值是()()（A A）0 0（B B）正数）正数 （C C）负数）负数 （D D）无法判断）无法判断B BD D练一练练一练:由表和图可知由表和图可知f(2)0f(2)0，即即f(2)f(2)f(3)0f(3)0 x0时时,f(x)=lnx+2x-6.,f(x)=lnx+2x-6.(1)(1)判断函数判断函数y=f(x)y=
10、f(x)的零点的个数的零点的个数;(2)(2)求函数求函数y=f(x)y=f(x)所有零点之和；所有零点之和；(3)(3)如果如果R R上的奇函数有零点，试问零点个数有上的奇函数有零点，试问零点个数有什么特点？所有零点之和你能得出什么结论吗？什么特点？所有零点之和你能得出什么结论吗？偶函数呢？偶函数呢？2 05.()ln 0 xaxf xxx 已已知知函函数数有有两两个个零零点点，则则实实数数的的取取值值范范围围是是_._.6.作业作业:2 2.关于关于x x的方程的方程mxmx2 2+2(m+3)x+2m+14=0+2(m+3)x+2m+14=0有两实有两实根根,且一个大于且一个大于4,4,一个小于一个小于4,4,求求m m的取值范围的取值范围.1.1.方程方程loglog3 3x+xx+x3 3=0=0在区间在区间 内有内有无无实根实根?为什么为什么?1,31
