1、 1、能够利用尺规法作一条已知线段的垂直平分线，并能证明它的正确性。2、经历探索，证明线段垂直平分线性质定理及其逆定理的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力。3、能够利用线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理证明相关结论，理解三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。什么叫线段的垂直平分线？线段是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？怎样做出一条线段的垂直平分线？怎样做出一条线段的垂直平分线？定义法定义法;折纸折纸;尺规作图法尺规作图法线段的垂直平分线的定义线段的垂直平分线的定义？线段是轴对称图形么？线段是轴对称图形么？作法作法：1、分别以点A、B为圆心，大于AB长
2、为半径画弧交于点E、F。2、过点E、F作直线。则直线EF就是线段AB的垂直平分线（图16-11）ABEF图16-11 为什么以“大于AB长”为半径？、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，请你根据三角形全等的判定定理给出证明证明证明：连接AE、AF、BE、BF AEBEAFBF（等圆或同圆的半径相等）在AEF与 BEF中AEBE（已证）AFBF（已证）EFEF（公共边）AEF BEF（SSS）AEO BEO（全等三角形对应角相等）在 AEO与 BEO中 AEBE（已证）AEO BEO（已证）EOEO（公共边）AEO BEO（SAS）AOBO（全等三角形
3、对应边相等）AOE BOE（全等三角形对应角相等）AOE+BOE180（邻补角的定义）AOE BOE90（等式性质）EFAB（垂直定义）EF是线段AB的垂直平分线（线段的垂直平分线定义）性质定理性质定理：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等 ABEFo已知：如图16-12，直线MN经过线段AB的中点O，且MNAB，P是MN上任意一点。求证：PAPB 证明证明：MN AB（已知）AOPBOP90（垂直定义）在AOP与 BOP中 AOBO（已知）AOPBOP（已证）POPO（公共边）AOP BOP（SAS）PAPB（全等三角形对应边相等）BAOPMN图16-12如何证明线段的垂直平分线性质定理的
4、正确性？提示：要证明一个图形上每一点都具有某种性质，只需要在图形上任取一点作代表、什么是互逆命题？你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？请给出证明。已知：线段AB两端点A、B分别与P点所连的线段为AP、BP，且APBP求证：点P在AB的垂直平分线上。证明证明：过点P 作POAB，垂足为点OPO AB（已知）AOPBOP90（垂直的定义）AOP、BOP均为直角三角形在tAOP与t BOP中 APBP（已知）POPO（公共边）t AOP t BOP（HL）AOBO（全等三角形对应边相等）即PO是线段AB的垂直平分线（线段垂直平分线定义）点P在AB的垂直平分线上。BOP逆定理：与线段两端距离相等
5、的点在这条线段的垂直平分线上。2.过点过点M、N作直线。作直线。1.分别以点分别以点A、B为圆心，大于为圆心，大于AB21长为半径，画弧长为半径，画弧交于点交于点M,N；测量线段垂直平分线上任意一点到测量线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点的距离线段两个端点的距离 已知，如图，直线已知，如图，直线MN经过线段经过线段AB的的 中点中点O，且，且MNAB,P是是MN上上 任意一点。任意一点。求证：求证：PBPA 证明：MN AB（已知）（已知）AOP=BOP=90(垂直的定义)在AOP和BOP中 AO=BO(已知)AOP=BOP(已证)PO=PO(公共边)AOP BOP(SAS)PA=PB(全
6、等三角形对应边相等)线段垂直平分线上的点与线段线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。两端的距离相等。你能写出上述定理的逆命题你能写出上述定理的逆命题吗？它是真命题吗？吗？它是真命题吗？与线段两端距离相等的点在这与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。条线段的垂直平分线上。已知，如图，已知，如图，AP=BP 求证：点求证：点P在线段在线段AB的垂直平分线直线的垂直平分线直线MN上上证明：过点P作直线MN垂直于线段AB交AB于点O在Rt AOP与Rt BOP中O是AB的中点PA=PB(已知)PO=PO(公共边)Rt AOP Rt BOP(HL)OA=OB(全等三角形的对应边相等)与线段
7、两端距离相等的点在与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上这条线段的垂直平分线上。昨天，我们班赵影与杨小雪同时从家出发到学校，二人约定走路的昨天，我们班赵影与杨小雪同时从家出发到学校，二人约定走路的速度一样，结果巧合的是二人同时到达锦华饭店，然后她们一起高兴速度一样，结果巧合的是二人同时到达锦华饭店，然后她们一起高兴的进了教室，但在教室内发生了如此的对话：的进了教室，但在教室内发生了如此的对话：赵影赵影：如果不考虑我们两家到学校间的建筑物，我们还是同时同速的：如果不考虑我们两家到学校间的建筑物，我们还是同时同速的话，我就比你先到学校；话，我就比你先到学校；杨小雪杨小雪：不对，应该我先到。
8、：不对，应该我先到。为此，二人争的不可开交，就在这时，为此，二人争的不可开交，就在这时，吴金萍吴金萍插了一句：插了一句：“别吵了，别吵了，你们同时到。你们同时到。”对于她们仨的说法，谁正确呢？对于她们仨的说法，谁正确呢？杨小雪家赵颖家锦华饭店界首二中中原路大桥北路 已知：如图16-13，ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P求证：点P在BC的垂直平分线上BCAP图16-13证明证明：连接PA、PB、PC 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）PAPB，PAPC（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等）PBPC（等式性质）点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线
9、上）发现新论：三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等。BCAP图16-13 已知：如图，已知：如图，ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点O。求证：点P在BC的垂直平分线上证明：连接OA、OB、OC，点O在AB、AC的垂直平分线上（已知）OA=OB、OA=OC（线段垂直平分线上的点于线段 两端点的距离相等）OB=OC（等量代换）点O在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的 点在这条线段的垂直平分线上）已知如图，已知如图，DE是是ABC的边的边AB的的垂直平分线，垂直平分线，D为垂足，为垂足，DE交交AC于点于点E，且，且AC8，BC5，则，则BEC的周长为的周长为
10、_。13一个方法一个方法证明线段相等的新方法：利用证明线段相等的新方法：利用线段垂直平分线的性质。线段垂直平分线的性质。两条定理两条定理线段垂直平分线上的点与线段线段垂直平分线上的点与线段两端的距离相等。两端的距离相等。与线段两端距离相等的点在这与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。条线段的垂直平分线上。三种作图三种作图折纸折纸;过中点做垂线过中点做垂线;尺规作图法尺规作图法1、必做作业必做作业：（1）课本：）课本：P 124 习题习题16.2 第第3、4题题2、选做作业选做作业：青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，青岛国际帆船中心要修建一处公共服务设施，使它到三所运动员公寓使它到三所运动员公寓A、B、C的距离相等。的距离相等。若三所运动员公寓若三所运动员公寓A、B、C的的 位置如图所示，请在图中确定位置如图所示，请在图中确定 这处公共服务设施这处公共服务设施P的位置；的位置；
