高中数学讲义微专题37向量的数量积-坐标化解决向量问题.doc

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1、 微专题 37 向量的数量积坐标法 在处理向量数量积问题时,若几何图形特殊(如正方形,等边三角形等) ,易于建系并写 出点的坐标,则考虑将向量坐标化,一旦所求向量用坐标表示,其数量积等问题迎刃而解。 一、基础知识 1、向量的坐标表示 (1) 平面向量基本定理: 在平面中, 如果两个向量 12 ,e e不共线, 则对于平面上的任一向量a, 存在, x yR, 使得 12 axeye, 且这种表示唯一。 其中 12 ,e e称为平面向量的一组基底, 而有序实数对, x y称为在 12 ,e e基底下的坐标 (2)为了让向量能够放置在平面直角坐标系中,我们要选择一组特殊的基底, i j,在方向上 它

2、们分别与, x y轴的正方向同向,在长度上,1ij,由平面向量基本定理可得:平面上 任一向量a,均有axiy j,其坐标为, x y,从图上可观察到恰好是将向量a起点与坐 标原点重合时,终点的坐标 (3) 已知平面上的两点坐标, 也可求得以它们为起终点的向量坐标: 设 1122 ,A x yB x y, 则 2121 ,ABxx yy (可记为“终”“起” ) ,所以只要确定了平面上点的坐标,则 向量的坐标自然可求。另外, ,A B AB三个坐标知二可求一三个坐标知二可求一,所以当已知向量坐标与其中一个所以当已知向量坐标与其中一个 点的坐标点的坐标,也可求出另一个点的坐标也可求出另一个点的坐标

3、 2、向量的坐标运算:设 1122 ,ax ybxy,则有: (1)加减运算: 1212 ,abxxyy (2)数乘运算: 11 ,axy (3)数量积运算: 1212 a bx xy y (4)向量的模长: 22 11 axy 3、向量位置关系的判定: (1)平行: 1221 a bx yx y (2)垂直: 1212 00aba bx xy y (3)向量夹角余弦值: 1212 2222 1122 cos, a bx xy y a b abxyxy 4、常见的可考虑建系的图形:关于向量问题,一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标,则 B C A D E 问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题

4、适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形, 则可尝试建系的方法,看能否把问题解决 (1)具备对称性质的图形:长方形,正方形,等边三角形,圆形 (2)带有直角的图形:直角梯形,直角三角形 (3)具备特殊角度的图形(30 ,45 ,60 ,120等) 二、典型例题: 例 1:在边长为 1 的正三角形ABC中,设2,3BCBD CACE,则 AD BE_ 思路:上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍 以此题为例,从另一个角度解题,观察到本题图形为等边三角形, 所以考虑利用建系解决数量积问题 ,如图建系: 311 0,0 ,0 222 ABC 下面求E坐标:令 113 , 222 E

5、x yCExyCA 由3CACE可得: 111 3 223 3 3 3 6 2 xx y y 13 , 36 E 353 0, 266 ADBE 1 4 AD BE 答案: 1 4 AD BE 例 2: (2012 江苏,9)如图,在矩形ABCD中,2,2ABBC, 点E为BC中点,点F在边CD上,若2AB AF,则AE BF的 值是_ 思路:本题的图型为矩形,且边长已知,故考虑建立直角坐标系求解, 以A为坐标原点如图建系: 2,0B,设,F x y,由F在CD上可得 2y , 再 由2AB AF解 出x: 2,0 ,2ABAFx, y x B C A D E E D AB C F y x E

6、 D AB C F 221AB AFxx 1,2F, 2,1E 2,1 ,12,2AEBF 2 1222AE BF 答案:2AE BF 例 3:如图,平行四边形ABCD的两条对角线相交于M,点P是MD的中点,若2AB , 1AD ,且60BAD,则AP CP_ 思路:本题抓住60BAD这个特殊角,可以考虑 建立坐标系,同时由2AB ,1AD 可以写出各 点坐标,从而将所求向量坐标化后即可求解 解:以AB为x轴,过A的垂线作为y轴 可得: 135 2,0 , 3 222 BDC 537 3 3 , 4488 MP 7 3 3135 3 , 8888 APCP 7133 35 317 88888

7、AP CP 答案: 17 8 例 4:已知直角梯形ABCD中,,90 ,2,1,ADBCADCADBCP是腰DC上的动 点,则3PAPB的最小值为_ 思路:本题所求模长如果从几何意义入手,则不便于作出 3PAPB的图形。所以考虑从代数方面入手,结合所给的特 殊图形可想到依直角建立坐标系,从而将问题转为坐标运算求 解,在建系的过程中,由于梯形的高未知,为了能够写出B坐标,可先设高为h。 解:以,AD CD为轴建立直角坐标系,设梯形高为h M D C A B P M D C A B P B D A C P 则2,0 ,1,ABh,设动点0,Py,则2,1,PAyPBhy 35,34PAPBhy 2

8、2 35345PAPBhy (等号成立: 3 34 4 hyyh) 答案:5 小炼有话说:本题的亮点在于梯形的高未知,但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时 有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标,则坐标法无 法实现,所以“没有条件要创造条件” ,先设再求,先将坐标完善,再看所设字母能否求出, 是否需要求出,这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用 例 5:给定平面上四点, , ,O A B C满足4,3,2,3OAOBOCOB OC,则ABC面积 的最大值为 思路:由3,2,3OBOCOB OC可计算出,OB OC的夹角 60BOC, 则可按照这

9、个特殊角建立坐标系, 则由4OA可 知A在以O为圆心,半径4r 的圆上。 3,0 ,1, 3BC , 7BC 若要求 ABC S 的最大值,只需找到A到BC的最大 值,数形结合可得距离的最大值为 O BC dr ,进而可求出 ABC S 的最大值。 解: 3,0 ,1, 3BC 3 :3 2 BC yx 即233 30yx max 3 3 4 7 A BCO BC ddr 11 3 33 3 472 7 2227 ABCA BC SdBC 答案: 3 3 2 7 2 例 6:如图,在直角三角形ABC中,3,1ACBC,点,M N分别是,AB BC的中点, 点P是ABC内及边界上的任一点,则AN

10、 MP的取值范围是_ 思路:直角三角形直角边已知,且P为图形内动点,所求MP 不便于用已知向量表示,所以考虑建系处理。设,P x y,从 而可得 15 3 24 AN MPxy, 而P所在范围是一块区域, 所以联想到用线性规划求解 解:以,AC BC为轴建立直角坐标系 131 0, 3 ,1,0 ,0 222 ABMN ,设,P x y 113 ,3 , 222 ANMPxy 11315 33 22224 AN MPxyxy 数形结合可得: 7 7 , 4 4 AN MP 答案: 7 7 , 4 4 例 7:平面向量, ,a b c满足1,2,2,1a eb eabe,则a b的最小值是_ 思

11、路: 本题条件中有1e , 而1,2a eb e可利用向量数量积的投影定义得到, a b在e上 的投影分别为 1,2,通过作图可发现能够以e的起点为原点,所在直线为x轴建立坐标系,则 , a b起点在原点,终点分别在1,2xx的直线上,从而, a b可坐标化,再求出a b的最值 即可 解:如图建系可得:1,2,aabb 由2ab可得: 222 1223abab 而2a bab,由轮换对称式不妨设ab,则33abba M N A C B P 2 2 355 2332 244 a ba aaaa min 5 4 a b 答案: 5 4 例 8:已知点M为等边三角形ABC的中心,2AB ,直线l过点

12、M交边AB于点P,交边 AC于点Q,则BQ CP的最大值为 . 思 路 : 本 题 由 于l为 过M的 任 一 直 线 , 所 以 :,:A PA B A QA C的值不确定,从而不容易利用三边向 量将,BQ CP进行表示, 所以考虑依靠等边三角形的特点, 建立直角坐标系,从而, , ,A B C M坐标可解,再借助解析几何的思想设出直线l方程,与 ,AB AC方程联立解出,P Q坐标,从而BQ CP可解出最大值 解:以,BC AM为轴建立直角坐标系 3 1,0 ,1,0 ,0, 3 ,0, 3 BCAM 设直线 3 : 3 lykx 由 1,0 ,1,0 ,0, 3BCA可得: :31 ,:

13、31AB yxAC yyx 3 :3 31 ykx P yx 解得: 2 3 33 31 3 x k k y k 3 :3 31 ykx Q yx 解得: 2 3 33 31 3 x k k y k Q P A BC M Q P A BC M 5 33315 3331 , 333333 kkkk BQCP kkkk 222 222 5 335 33313175931622 3933333 3333 kkkkkkk BQ CP kkkkk kk 22 222 6221 61840140 6 333333 kk kkk 若直线与,AB AC相交,则 33 , 33 k 2 14014022 66

14、333039 BQ CP k 答案: 22 9 例 9: 如图, 四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形,PQR 是圆O的内接正三角形,当PQR绕着圆心O旋转时,AQ OR的 取值范围是( ) A. 12,12 B. 12, 12 C. 11 2,2 22 D. 11 2,2 22 思路:本题所给的图形为正方形及其内切圆,可考虑建立直角坐 标系,为了使坐标易于计算,可以O为坐标原点如图建系: 0,0 ,1, 1OA ,确定,Q R点的坐标是一个难点,观察两个 点之间的关系,无论PQR如何转动, 2 3 ROQ ,如何从这 个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢:考虑圆的考虑圆的参数方参数

15、方 程程 ( 参 数 的 几 何 意 义 为 圆 心 角参 数 的 几 何 意 义 为 圆 心 角 , 与 角 度 相 联 系与 角 度 相 联 系 ) ,) , 设 cos ,sinR,从而 22 cos,sin0,2 33 Q ,用的三角函数将两 点坐标表示出来,从而可求出AQ OR的范围 y x 解: 22 cos1,sin1 33 AQ ,cos ,sinOR 22 coscos1sinsin1 33 AQ OR 1313 =coscossin1sinsincos1 2222 22 1313 =cossincoscossinsincossin 2222 11 =sincos2sin 2

16、24 0,2 11 2,2 22 AQ OR 答案:选C 小炼有话说:在直角坐标系中涉及到圆上的点,除了想到传统坐标之外,还应想到圆的参数 方程,尤其是题目中有关于圆心角的条件时(例如本题中的 2 3 ROQ ) ,可依靠参数的几 何意义将条件充分的利用起来。 例 10:在平面上, 12 ABAB , 1212 1,OBOBAPABAB,若 1 2 OP ,则OA 的取值范围是( ) A. 5 0, 2 B. 57 , 22 C. 5 , 2 2 D. 7 , 2 2 思路: 以 12 ABAB为入手点, 考虑利用坐标系求解, 题目中 12 ,ABAB和O点坐标均未知, 为 了 能 够 进 行

17、 坐 标 运 算 , 将 其 用 字 母 表 示 : 设 12 ,ABa ABb O x y, 则 12 ,0 ,0 ,B aB bP a b ,所求OA范围即为求 22 xy的范围。下一步将题目的模长 翻译成, , ,a b x y关系,再寻找关于 22 xy的不等关系即可 解:如图以 12 ,AB AB为轴建立坐标系:设 12 ,ABa ABb O x y, 则 12 ,0 ,0 ,B aB bP a b 2 2 22 1212 2 2 1 11 1 axy OBOBOBOB xyb 2 22111 244 OPOPxayb与联系可得: 22 22 22 22 11 11 axyaxy x

18、ybybx ,所以转变为: 22 1 11 4 yx ,即 22 7 4 xy 另一方面: 2 2222 121axyxyaxa 222 12xyaax 22 2axax 222222 11xyaaxy 同理,由 2 2 1xyb可得: 2 1x 22 2xy 综上所述: 22 7 2 4 xy,则 22 7 2 2 xyOA 答案:D 小炼有话说: (1)本题涉及到的点与线段较多,所以难点一方面在于是否能够想到建系去处 理,还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从 12 1OBOB入手,选择 O为坐标原点,这样 12 ,B B在以原点为圆心的单位圆上,且所求OA只需计算出A的坐标

19、即 可。但这种选法继续做下去会发现,首先 12 ,B B在圆上的位置不确定,坐标不易写出,其次无 法定位,A P,从而使得条件 1 2 OP 不便于使用。所以这种建系的方法在解题过程中障碍重 重,不利于求解。而利用现有的垂直建系,会使得 12 ,A B B的坐标易于表示,进而求出P坐 标,只剩一个不好表示的O点,难度明显低于前一种建系方法。 (2)在坐标系建好之后,说明此题主流的解法是用变量,表达式去解决,所以下一步就要将 题目中的条件翻译成代数的关系。正所谓“数形结合”时,如果用到的是形,那么就将代数 条件翻译成几何特点,如果用到的是数,那就要将几何条件翻译成代数的特点。所以在“数 形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的

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