1、 微专题 37 向量的数量积坐标法 在处理向量数量积问题时，若几何图形特殊（如正方形，等边三角形等） ，易于建系并写 出点的坐标，则考虑将向量坐标化，一旦所求向量用坐标表示，其数量积等问题迎刃而解。 一、基础知识 1、向量的坐标表示 （1） 平面向量基本定理： 在平面中， 如果两个向量 12 ,e e不共线， 则对于平面上的任一向量a， 存在, x yR， 使得 12 axeye， 且这种表示唯一。 其中 12 ,e e称为平面向量的一组基底， 而有序实数对, x y称为在 12 ,e e基底下的坐标 （2）为了让向量能够放置在平面直角坐标系中，我们要选择一组特殊的基底, i j，在方向上 它
2、们分别与, x y轴的正方向同向，在长度上，1ij，由平面向量基本定理可得：平面上 任一向量a，均有axiy j，其坐标为, x y，从图上可观察到恰好是将向量a起点与坐 标原点重合时，终点的坐标 （3） 已知平面上的两点坐标， 也可求得以它们为起终点的向量坐标： 设 1122 ,A x yB x y， 则 2121 ,ABxx yy （可记为“终”“起” ） ，所以只要确定了平面上点的坐标，则 向量的坐标自然可求。另外, ,A B AB三个坐标知二可求一三个坐标知二可求一，所以当已知向量坐标与其中一个所以当已知向量坐标与其中一个 点的坐标点的坐标，也可求出另一个点的坐标也可求出另一个点的坐标
3、 2、向量的坐标运算：设 1122 ,ax ybxy，则有： （1）加减运算： 1212 ,abxxyy （2）数乘运算： 11 ,axy （3）数量积运算： 1212 a bx xy y （4）向量的模长： 22 11 axy 3、向量位置关系的判定： （1）平行： 1221 a bx yx y （2）垂直： 1212 00aba bx xy y （3）向量夹角余弦值： 1212 2222 1122 cos, a bx xy y a b abxyxy 4、常见的可考虑建系的图形：关于向量问题，一旦建立坐标系并成功写出相关点的坐标，则 B C A D E 问题常常迎刃而解。但难点如何甄别一道题
4、适合使用建系的方法求解。如果你遇到以下图形， 则可尝试建系的方法，看能否把问题解决 （1）具备对称性质的图形：长方形，正方形，等边三角形，圆形 （2）带有直角的图形：直角梯形，直角三角形 （3）具备特殊角度的图形（30 ,45 ,60 ,120等） 二、典型例题： 例 1：在边长为 1 的正三角形ABC中，设2,3BCBD CACE，则 AD BE_ 思路：上周是用合适的基底表示所求向量，从而解决问题，本周仍 以此题为例，从另一个角度解题，观察到本题图形为等边三角形， 所以考虑利用建系解决数量积问题 ，如图建系： 311 0,0 ,0 222 ABC 下面求E坐标：令 113 , 222 E
5、x yCExyCA 由3CACE可得： 111 3 223 3 3 3 6 2 xx y y 13 , 36 E 353 0, 266 ADBE 1 4 AD BE 答案： 1 4 AD BE 例 2： （2012 江苏，9）如图，在矩形ABCD中，2,2ABBC， 点E为BC中点，点F在边CD上，若2AB AF，则AE BF的 值是_ 思路：本题的图型为矩形，且边长已知，故考虑建立直角坐标系求解， 以A为坐标原点如图建系： 2,0B,设,F x y,由F在CD上可得 2y , 再 由2AB AF解 出x: 2,0 ,2ABAFx， y x B C A D E E D AB C F y x E
6、 D AB C F 221AB AFxx 1,2F， 2,1E 2,1 ,12,2AEBF 2 1222AE BF 答案：2AE BF 例 3：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于M，点P是MD的中点，若2AB ， 1AD ，且60BAD，则AP CP_ 思路：本题抓住60BAD这个特殊角，可以考虑 建立坐标系，同时由2AB ，1AD 可以写出各 点坐标，从而将所求向量坐标化后即可求解 解：以AB为x轴，过A的垂线作为y轴 可得： 135 2,0 , 3 222 BDC 537 3 3 , 4488 MP 7 3 3135 3 , 8888 APCP 7133 35 317 88888
7、AP CP 答案： 17 8 例 4：已知直角梯形ABCD中，,90 ,2,1,ADBCADCADBCP是腰DC上的动 点，则3PAPB的最小值为_ 思路：本题所求模长如果从几何意义入手，则不便于作出 3PAPB的图形。所以考虑从代数方面入手，结合所给的特 殊图形可想到依直角建立坐标系，从而将问题转为坐标运算求 解，在建系的过程中，由于梯形的高未知，为了能够写出B坐标，可先设高为h。 解：以,AD CD为轴建立直角坐标系，设梯形高为h M D C A B P M D C A B P B D A C P 则2,0 ,1,ABh，设动点0,Py，则2,1,PAyPBhy 35,34PAPBhy 2
8、2 35345PAPBhy （等号成立： 3 34 4 hyyh） 答案：5 小炼有话说：本题的亮点在于梯形的高未知，但为了写坐标先用字母代替。在使用坐标解题时 有时会遇到由于某些条件未知而导致坐标无法写出的情况。要明确没有点的坐标，则坐标法无 法实现，所以“没有条件要创造条件” ，先设再求，先将坐标完善，再看所设字母能否求出， 是否需要求出，这个理念在解析几何和空间向量解立体几何中都有所应用 例 5：给定平面上四点, , ,O A B C满足4,3,2,3OAOBOCOB OC，则ABC面积 的最大值为 思路：由3,2,3OBOCOB OC可计算出,OB OC的夹角 60BOC， 则可按照这
9、个特殊角建立坐标系， 则由4OA可 知A在以O为圆心，半径4r 的圆上。 3,0 ,1, 3BC ， 7BC 若要求 ABC S 的最大值，只需找到A到BC的最大 值，数形结合可得距离的最大值为 O BC dr ，进而可求出 ABC S 的最大值。 解： 3,0 ,1, 3BC 3 :3 2 BC yx 即233 30yx max 3 3 4 7 A BCO BC ddr 11 3 33 3 472 7 2227 ABCA BC SdBC 答案： 3 3 2 7 2 例 6：如图，在直角三角形ABC中，3,1ACBC，点,M N分别是,AB BC的中点， 点P是ABC内及边界上的任一点，则AN
10、 MP的取值范围是_ 思路：直角三角形直角边已知，且P为图形内动点，所求MP 不便于用已知向量表示，所以考虑建系处理。设,P x y，从 而可得 15 3 24 AN MPxy， 而P所在范围是一块区域， 所以联想到用线性规划求解 解：以,AC BC为轴建立直角坐标系 131 0, 3 ,1,0 ,0 222 ABMN ，设,P x y 113 ,3 , 222 ANMPxy 11315 33 22224 AN MPxyxy 数形结合可得： 7 7 , 4 4 AN MP 答案： 7 7 , 4 4 例 7：平面向量, ,a b c满足1,2,2,1a eb eabe，则a b的最小值是_ 思
11、路： 本题条件中有1e ， 而1,2a eb e可利用向量数量积的投影定义得到, a b在e上 的投影分别为 1,2，通过作图可发现能够以e的起点为原点，所在直线为x轴建立坐标系，则 , a b起点在原点，终点分别在1,2xx的直线上，从而, a b可坐标化，再求出a b的最值 即可 解：如图建系可得：1,2,aabb 由2ab可得： 222 1223abab 而2a bab，由轮换对称式不妨设ab，则33abba M N A C B P 2 2 355 2332 244 a ba aaaa min 5 4 a b 答案： 5 4 例 8：已知点M为等边三角形ABC的中心，2AB ，直线l过点
12、M交边AB于点P，交边 AC于点Q，则BQ CP的最大值为 . 思 路 ： 本 题 由 于l为 过M的 任 一 直 线 ， 所 以 :,:A PA B A QA C的值不确定，从而不容易利用三边向 量将,BQ CP进行表示， 所以考虑依靠等边三角形的特点， 建立直角坐标系，从而, , ,A B C M坐标可解，再借助解析几何的思想设出直线l方程，与 ,AB AC方程联立解出,P Q坐标，从而BQ CP可解出最大值 解：以,BC AM为轴建立直角坐标系 3 1,0 ,1,0 ,0, 3 ,0, 3 BCAM 设直线 3 : 3 lykx 由 1,0 ,1,0 ,0, 3BCA可得： :31 ,:
13、31AB yxAC yyx 3 :3 31 ykx P yx 解得： 2 3 33 31 3 x k k y k 3 :3 31 ykx Q yx 解得： 2 3 33 31 3 x k k y k Q P A BC M Q P A BC M 5 33315 3331 , 333333 kkkk BQCP kkkk 222 222 5 335 33313175931622 3933333 3333 kkkkkkk BQ CP kkkkk kk 22 222 6221 61840140 6 333333 kk kkk 若直线与,AB AC相交，则 33 , 33 k 2 14014022 66
14、333039 BQ CP k 答案： 22 9 例 9： 如图， 四边形ABCD是半径为1的圆O的外切正方形，PQR 是圆O的内接正三角形，当PQR绕着圆心O旋转时，AQ OR的 取值范围是（ ） A. 12,12 B. 12, 12 C. 11 2,2 22 D. 11 2,2 22 思路：本题所给的图形为正方形及其内切圆，可考虑建立直角坐 标系，为了使坐标易于计算，可以O为坐标原点如图建系： 0,0 ,1, 1OA ，确定,Q R点的坐标是一个难点，观察两个 点之间的关系，无论PQR如何转动， 2 3 ROQ ，如何从这 个恒定的角度去刻画此圆上两点坐标的联系呢：考虑圆的考虑圆的参数方参数
15、方 程程 （ 参 数 的 几 何 意 义 为 圆 心 角参 数 的 几 何 意 义 为 圆 心 角 ， 与 角 度 相 联 系与 角 度 相 联 系 ） ，） ， 设 cos ,sinR，从而 22 cos,sin0,2 33 Q ，用的三角函数将两 点坐标表示出来，从而可求出AQ OR的范围 y x 解： 22 cos1,sin1 33 AQ ，cos ,sinOR 22 coscos1sinsin1 33 AQ OR 1313 =coscossin1sinsincos1 2222 22 1313 =cossincoscossinsincossin 2222 11 =sincos2sin 2
16、24 0,2 11 2,2 22 AQ OR 答案：选C 小炼有话说：在直角坐标系中涉及到圆上的点，除了想到传统坐标之外，还应想到圆的参数 方程，尤其是题目中有关于圆心角的条件时（例如本题中的 2 3 ROQ ） ，可依靠参数的几 何意义将条件充分的利用起来。 例 10：在平面上， 12 ABAB ， 1212 1,OBOBAPABAB，若 1 2 OP ，则OA 的取值范围是（ ） A. 5 0, 2 B. 57 , 22 C. 5 , 2 2 D. 7 , 2 2 思路： 以 12 ABAB为入手点， 考虑利用坐标系求解， 题目中 12 ,ABAB和O点坐标均未知， 为 了 能 够 进 行
17、 坐 标 运 算 ， 将 其 用 字 母 表 示 ： 设 12 ,ABa ABb O x y， 则 12 ,0 ,0 ,B aB bP a b ，所求OA范围即为求 22 xy的范围。下一步将题目的模长 翻译成, , ,a b x y关系，再寻找关于 22 xy的不等关系即可 解：如图以 12 ,AB AB为轴建立坐标系：设 12 ,ABa ABb O x y， 则 12 ,0 ,0 ,B aB bP a b 2 2 22 1212 2 2 1 11 1 axy OBOBOBOB xyb 2 22111 244 OPOPxayb与联系可得： 22 22 22 22 11 11 axyaxy x
18、ybybx ，所以转变为： 22 1 11 4 yx ，即 22 7 4 xy 另一方面： 2 2222 121axyxyaxa 222 12xyaax 22 2axax 222222 11xyaaxy 同理，由 2 2 1xyb可得： 2 1x 22 2xy 综上所述： 22 7 2 4 xy，则 22 7 2 2 xyOA 答案：D 小炼有话说： （1）本题涉及到的点与线段较多，所以难点一方面在于是否能够想到建系去处 理，还有一方面在于选择哪两条线作为坐标轴。也许有同学会从 12 1OBOB入手，选择 O为坐标原点，这样 12 ,B B在以原点为圆心的单位圆上，且所求OA只需计算出A的坐标
19、即 可。但这种选法继续做下去会发现，首先 12 ,B B在圆上的位置不确定，坐标不易写出，其次无 法定位,A P，从而使得条件 1 2 OP 不便于使用。所以这种建系的方法在解题过程中障碍重 重，不利于求解。而利用现有的垂直建系，会使得 12 ,A B B的坐标易于表示，进而求出P坐 标，只剩一个不好表示的O点，难度明显低于前一种建系方法。 （2）在坐标系建好之后，说明此题主流的解法是用变量，表达式去解决，所以下一步就要将 题目中的条件翻译成代数的关系。正所谓“数形结合”时，如果用到的是形，那么就将代数 条件翻译成几何特点，如果用到的是数，那就要将几何条件翻译成代数的特点。所以在“数 形结合”方法中“翻译”的步骤是必不可少的
