1、 第 12 章 整式的乘除 121 幂的运算 121.1 同底数幂的乘法 1掌握同底数幂的乘法法则，并能运用它进行熟练的计算 2能利用同底数幂的乘法法则解决简单实际的问题 重点 同底数幂乘法法则的推导与运用 难点 同底数幂的乘法法则的运用 一、创设情境 某地区在退耕还林期间，有一块长 m 米，宽 a 米的长方形林区增长了 n 米，加宽了 b 米，用不同的方法表示这块林区现在的面积，便可以得到一个等式 (mn)(ab)mambnanb 提出问题： 1扩大后的林区面积是多少？ 2你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？ 教师活动：操作投影仪，引导，启发 学生活动：观察，主动探索，回答 教学方法和
2、媒体：投影显示创设情境，讨论，交流 二、回顾 1什么叫做乘方？ 2an表示的意义是什么？ 三、探究新知 做一做 (1)2324(222)(2222)2( )； (2)5354_5( )； (3)a3a5_a( ) 提出问题： (1)这几道题目有什么共同特点？ (2)请同学们看一看自己的计算结果，想一想，这些结果有什么规律？ 教师活动：提出问题，引导规律 学生活动：书面练习，讨论、探究、回答 教学方法与媒体：投影显示“做一做”的题目，合作交流 学生通过“做一做”以及探索规律， 用乘方的概念进行推算， 再从特殊中构建出一般的 规律，教师通过问题的提出，如把指数用字母 m，n 表示，而后通过 得到
3、amanam n(m，n 为正整数)，即同底数幂相乘， 通过乘方的意义推导出：底数不变，指数相加，概括出幂的第一个运算法则(可让学生自 行概括) 教师板演：amanam n(m，n 为正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加 四、练习巩固 1aa2a3_. 2(xy)3(xy)2(yx)_. 3(x)4x7(x)3_. 4已知 3a b3ab9，则 a_. 5如果 xm nx2n1x11，且 ym1y4ny5，求 m，n 的值 五、小结与作业 小结 1同底数幂的乘法，使用范围是两个幂的底数相同，且是相乘关系，使用方法：在乘 积中，幂的底数不变，指数相加 2同底数幂的乘法可以拓展，例如，对含
4、有三个或三个以上的同底数幂，仍成立底 数和指数，它既可取一个或几个具体数，也可取单项式或多项式 3幂的乘法运算性质注意不能与整式的加减混淆 作业 教材第 19 页练习第 1，2 题 本节课从故事引入， 激发学生探究同底数幂乘法法则的兴趣， 探究同底数幂乘法法则时， 注意用乘方的意义让学生自己发现归纳 始终遵循从特殊到一般的认知规律 在同底数幂乘 法法则的运用中，不断渗透转化方程的数学思想 121.2 幂的乘方 1理解幂的乘方法则 2运用幂的乘方法则计算 重点 理解幂的乘方法则 难点 幂的乘方法则的灵活运用 一、创设情境 大家知道太阳、 木星和月亮的体积的大致比例吗？我可以告诉你， 木星的半径是
5、地球半 径的 102倍，太阳的半径是地球半径的 103倍假如地球的半径为 r，那么，请同学们计算 一下太阳和木星的体积是多少？(球的体积公式为 V4 3r 3) 学生活动：进行计算，并在黑板上演算 解：设地球的半径为 1，则木星的半径就是 102，因此，木星的体积为 V木星4 3(10 2)3. 二、探究新知 做一做 根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空： (1)(23)223232( )； (2)(32)33232323( )； (3)(a3)4a3a3a3a3a( ) 提出问题： (1)同学们通过上述这几道题的计算，观察一下，这几道题目有什么共同特点？ (2)请同学们看一看自己的计算结果，想
6、一想，这些结果有什么规律？ 教师活动：组织学生进行思考与交流，让学生通过讨论、争议，探究出规律 学生活动：合作学习 教学方法：合作探究 点评： 学生通过“做一做”以及探索规律， 充分应用乘方的意义和同底数幂的乘法法则 导出规律：(23)223 226，(32)332336，(a3)4a34a12. 提出问题：根据上述探索所得的规律，完成下面的填空：(am)na( ) 有(am)namn(m，n 为正整数) 教师活动：提出问题，引导、启发 学生活动：自主探索、讨论、回答 教学方法：合作交流 通过问题的提出，再依据“做一做”所导出的规律，利用乘方的意义和幂的乘法法则， 让学生自己主动构建，获得新知
7、：幂的乘方，底数不变，指数相乘 三、练习巩固 1108( )2( )4. 2p2n 2( )2. 3(x3)5_. 4x2x4(x)23_. 5已知 xmx2m3，则 x9m_. 6计算： (1)(103)5；(2)(b3)4. 四、小结与作业 小结 1幂的乘方(am)namn(m，n 为正整数)使用范围是：幂的乘方方法：底数不变，指数 相乘 2知识拓展：这里的底数、指数可以是数，也可以是字母，也可以是单项式或多项式 3幂的乘方法则与同底数幂的乘法法则区别在于，一个是“指数相乘”，一个是“指 数相加” 作业 教材第 24 页习题 12.1 第 2 题 本节课在熟悉乘方的意义与同底数幂的法则的前
8、提下推导幂的乘方法则， 在教学过程中 注意引导学生运用转化思想来解决新问题 在拓展新知时， 注意联想与逆向思维能力的培养 121.3 积的乘方 1理解积的乘方法则 2运用积的乘方法则计算 重点 理解并掌握积的乘方法则 难点 积的乘方法则的灵活运用 一、回顾与思考 1口述同底数幂的运算法则 2口述幂的乘方运算法则 3计算：(1)(x4)3；(2)a a2；(3)x4 x3. 二、探究新知 做一做 (1)(ab)2(ab) (ab)(aa) (bb)a( )b( ) (2)(ab)3_a( )b( ) (3)(ab)4_a( )b( ) 提出问题： (1)同学们通过上述这几题的计算，观察一下，你能
9、得到什么规律？ (2)如果设 n 为正整数，将上述的指数改成 n，即(ab)n，其结果是什么呢？ 教师活动：提出问题，引导，启发 学生活动：计算、观察、讨论、回答 教学方法与媒体：投影显示问题，学生自主探索，讨论交流 点评：积的乘方是幂的第三个运算法则，也是整式乘法的基础，在处理上仍然先通过数 字的指数为例让学生计算， 而后引导学生自主探索， 讨论交流， 归纳出一般指数情形的性质， 即概括出： 有(ab)nanbn(n 为正整数) 尽可能地让学生主动建模，获得新知，通过动脑、动口、动手提高自我总结能力教学 时引导学生关注每一步的依据 三、练习巩固 1计算： (1)(2b)3；(2)(2a3)2
10、；(3)(a)3；(4)(3x)4. 2计算：(3a3)2a3(4a)2a7(5a3)3. 3已知(a2)2 2b10，求 a2018b2017的值 四、小结与作业 小结 1积的乘方(ab)nanbn(n 为正整数)，使用范围：底数是积的乘方方法：把积的每个 因式分别乘方，再把所得的幂相乘 2在运用幂的运算法则时，注意知识拓展，底数和指数可以是数也可以是整式，对三 个以上因式的积也适用 3要注意运算过程，注意每一步的依据，还应防止符号上的错误 4在建构新的法则时应注意前面学过的法则与新法则的区别与联系 作业 教材第 24 页习题 12.1 第 4 题 本节课是采用探究与自主学习相结合的模式完成
11、的， 探究的目的是让学生会推导积的乘 方法则通过小组合作学习增强学习的主动性，突出学生的主体地位并注意在其中的及时 引导，发挥教师的主导作用教学中的简便运算应让学生体会转化思想的核心作用 121.4 同底数幂的除法 1理解同底数幂的除法法则 2运用同底数幂的除法法则计算 重点 掌握同底数幂的除法法则 难点 同底数幂的除法的应用 一、创设情境 1叙述同底数幂的乘法运算法则 同底数幂相乘，底数不变，指数相加即 amanam n(m，n 是正整数) 2问题：一种数码照片的文件大小是 25 KB，一个存储量为 26 MB(1 MB210 KB)的移 动存储器能存储多少张这样的数码照片？ 移动存储器的存
12、储量单位与文件大小的单位不一致， 所以要先统一单位 移动存储器的 容量为 26210216 KB，所以它能存储这种数码照片的数量为 21628. 216，28是同底数幂，同底数幂相除如何计算呢？ 二、探究新知 1试一试 用你熟悉的方法计算： (1)2522_； (2)107103_； (3)a7a3_(a0) 2概括 由上面的计算，我们发现： 252223_；107103104_；a7a3a4_. 在学生讨论、计算的基础上，教师可提问：你能发现什么？ 由学生回答，教师板书，发现： 25 222325 2； 107103104107 3； a7a3a4a7 3. 你能根据除法的意义来说明这些运算
13、结果是怎么得到的吗？ 分组讨论：各组选出一个代表来回答问题，师生达成共识，除法与乘法是逆运算，所以 除法的问题实际上是“已知乘积和一个乘数， 去求另一个乘数”的问题， 于是上面的问题可 以转化为乘法问题加以解决即 ( )2225 ( )103107 ( )a3a7 一般地，设 m，n 为正整数，mn，a0，有 amanam n 这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减 3 利用除法的意义来说明这个法则的道理 (让学生仿照问题 2 的解决过程， 讲清道理， 并请几位同学回答问题，教师加以评析) 因为除法是乘法的逆运算，amanam n实际上是要求一个式子( )，使 an( )am， 而由同底数
14、幂的乘法法则，可知 anam nan(mn)am，所以要求的式子( )，即商为 amn， 从而有 amanam n. 三、练习巩固 1下面运算正确的是( ) Ax3x32x6 Bx12x2x6 Cxn 2xn1x D(x5)4x20 2在下列计算中，3a22a25a4；2a23a36a6；(a3) (a)2a；4a3a3 (2a2)36a6.正确的有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 3一台计算机每秒可进行 1012运算，它进行 1015次运算需要_秒时间 4若 y2m 1yy2，求 m2 的值 四、小结与作业 小结 运用同底数幂的除法法则时应注意以下问题： (1)运用法则的关键是
15、看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数； (2)因为零不能作除数，所以底数 a0，这是此法则成立的前提条件； (3)注意指数“1”的情况，如 a4aa4 1a3，不能把 a 的指数当作 0； (4)多个同底数幂相除时，应按顺序计算 作业 教材第 25 页习题 12.1 第 7 题 本节课探究新知部分，注意如何使学生从特殊中发现规律，得到一般性结论，再由同底 数幂的乘法法则(同底数幂除法法则)证明规律积极鼓励学生主动地探索数学问题，加深对 数学问题的理解，养成良好的思维习惯，提高学生的数学素养 122 整式的乘法 122.1 单项式与单项式相乘 1通过学生自主探索，掌握单项式相
16、乘的法则 2掌握单项式相乘的几何意义 3会运用单项式相乘的法则进行计算，并解决一些实际生活和科学计算中的问题 4培养学生合作、探究的意识，养成良好的学习习惯 重点 单项式与单项式相乘的法则 难点 单项式与单项式相乘的法则的应用；单项式相乘的几何意义 一、回顾 我们已经学习了幂的运算性质，你能解答下面的问题吗？ 1判断下列计算是否正确，如有错误，请加以改正： (1)a3a5a10；(2)a a2a5a7； (3)(a3)2a9；(4)(3ab2)2a46a2b4. 2计算： (1)10102104( )； (2)(ab) (ab)3(ab)4( )； (3)(2x2y3)2( ) 教师活动：我们
17、刚才已经复习了幂的运算性质从本节开始，我们学习整式的乘法我 们知道，整式包括什么？(包括单项式和多项式)因此整式的乘法可分为单项式乘以单项式、 单项式乘以多项式、多项式乘以多项式这节课我们就来学习最简单的一种：单项式与单项 式相乘 二、探究新知 计算：(1)2x25x2；(2)3x2y5(2xy2z) 教师活动：操作投影仪，启发引导 学生活动：主动探索、逐步认识 点评：可先提示，运用乘法交换律、结合律，把各因式的系数、相同的字母分别结合， 然后相乘.2x3和 5x2可看成是 2 x3和 5 x2，同样 3x2y5和2xy2z 可看成是 3 x2y5和( 2) x y2z. 2x35x2(25)
18、(x2x3)10 x5； 3x2y5(2xy2z)3(2)(x2x) (y5y2) z6x3y7z. 通过两式计算，可以引导学生归纳出： 1系数相乘作为积的系数 2相同字母的因式，应用同底数幂的运算法则，底数不变，指数相加 3只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数也作为积的一个因式 4单项式与单项式的积仍是单项式 三、练习巩固 1边长分别为 2a 和 a 的两个正方形如图所示摆放，则图中阴影部分的面积是( ) A2a2 B2 C5a23a D.7 2a 2 2光速约为 3105 km/s，太阳光照射到地球所需的时间为 5102 s，则太阳与地球之 间的距离是_km. 3纳米是一种长度单位，1
19、 米109纳米，试计算长为 5 米，宽为 4 米，高为 3 米的长 方体体积是多少立方纳米？ 四、小结与作业 小结 1本节内容是单项式乘以单项式重点是在对运算法则的理解和应用上，试问：你能 归纳出单项式乘以单项式的运算法则吗？ 2在应用单项式乘以单项式运算法则时应注意什么？ 作业 教材第 2930 页习题 12.2 第 1，2 题 这节课内容较为简单，在探索单项式乘以单项式的法则时，注意让学生自己归纳，以提 高学生使用数学语言的能力，在推导的过程中，注意每步依据为后面几何证明服务，从而培 养逻辑思维能力，变式训练中表示阴影部分面积，旨在培养学生直观图感，将图形语言向数 学符号语言转化的能力，同
20、时注意转化数学思想的应用 122.2 单项式与多项式相乘 1能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项 式 2会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算 3通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力 重点 掌握单项式乘以多项式的法则 难点 熟练地运用法则、准确地进行 一、创设情境 1教师引导学生复习单项式乘以单项式法则 整式的乘法实际上就是 单项式单项式 单项式多项式 多项式多项式 (点评：培养学生前后知识的连续性) 前面我们已经学过单项式单项式，今天我们来学习单项式多项式 2教师演示宣传画的面积问题 宁宁作一幅画，所用纸为
21、长方形，其长为 mx 米，宽为 x 米，她在纸的左右两边都留了 1 8x 米的空白，则这幅画的面积是多少？ 说说你的理由 学生通过讨论，有的学生列出式子：x(mx1 4x)；有的学生列出式子：mx 21 4x 2.那么这 两个式子一样吗？你知道为什么吗？ 点评：创设问题情境引入新课，鼓励学生进行探索，学生的方法只要合理就应鼓励组 织学生积极讨论，教师应积极参与学生的讨论过程，并对不主动参与的学生进行指导 二、探究新知 1在 12(2 3 3 4 5 6)中，你是怎样计算的？用什么方法较简单？(乘法分配律) 即 12(2 3 3 4 5 6)12 2 312 3 412 5 6. 2我们知道代数
22、式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算 m(a bc)吗？ (引导学生用乘法分配律解决) 3你算出的结果能否用长方形的面积加以验证？(出示右图) 大长方形的面积有两种表示方法，一是长为 abc，宽为 m，面积是 m(abc)；二 是三个小长方形面积的和，即 ambmcm.它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的， 即 m(abc)ambmcm. 4在 m(abc)mambmc 中， “m”是单项式， “abc”是多项式，这两者相 乘，从中你能看出什么规律？ (在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述) 法则：单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相
23、加 用式子表示为：m(abc)mambmc. 5问题思考 (1)当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立？ (2)非零单项式乘以不含同类项的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多项式的项数 有什么联系？ 三、练习巩固 1判断题： (1)3a35a315a3；( ) (2)6ab 7ab42ab；( ) (3)3a4(2a22a3)6a86a12；( ) (4)x2(2y2xy)2x2y2x3y.( ) 2计算： (1)a(1 6a 22a)；(2)y2(1 2yy 2)； (3)2a(2ab1 3ab 2)；(4)3x(yxyz) 3合作探究，分别计算下面图中阴影部分的面积 四、小结与作业 小结
24、 1指导学生总结本节课的知识点、学习过程 2单项式多项式的积的项数、符号(结合去括号法则)及不能漏乘等注意事项给予强 调 3要善于在图形变化中发现规律，能熟练地对整式加减及单项式与多项式相乘进行运 算 作业 教材第 30 页习题 12.2 第 3，4 题 本节课法则推导利用乘法的分配律，从数类比到字母，学生亲切易懂，体现用字母代替 数的思想，再让学生用长方形面积验证，培养思维严谨性，注重数形结合的思想 本节课计算量有所加大，如何让学生计算更准确，除熟练运用法则外，还应对学生计算 作心理指导如做一步查一步，不要做完再检查，可通过演算比赛调动计算情绪 122.3 多项式与多项式相乘 1能说出多项式
25、与多项式相乘的法则，并且知道多项式乘以多项式的结果仍然是多项 式会进行多项式乘以多项式的计算及混合运算 2培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力 3培养独立思考、主动探索的习惯和初步解决问题的愿望及能力 重点 掌握多项式乘以多项式的法则 难点 运用法则进行混合运算时，不要漏项 一、创设情境 教师引导学生复习单项式乘以多项式的运算法则 整式的乘法实际上就是 单项式单项式 单项式多项式 多项式多项式 今天我们来学习多项式与多项式相乘 二、探究新知 组织讨论：如图，计算此长方形的面积有几种方法？ 如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？ 由于(mn)(ab)和(mambnanb)表示
26、同一个量，即有(mn)(ab)mambna nb. 教师活动：教师引导学生由繁化简，把(mn)看作一个整体，使之转化为单项式乘以多 项式，即(mn)(ab)(mn)a(mn)bmambnanb. 教师活动：教材第 28 页例图你会验证吗？ 教师活动：问题：(1)如何表示扩大后的林地的面积？ (2)用不同的方法表示出来后的等式为什么是相等的呢？ 学生活动：学生分组讨论，相互交流得出答案 教师活动： 观察这一结果的每一项与原来两个多项式各项之间的关系， 能不能由原来的 多项式各项之间相乘直接得到？如果能得到，又是怎样相乘得到的？(教师示范) 1你能用语言叙述这个式子吗？ 多项式与多项式相乘， 先用
27、一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项， 再把 所得的积相加 即(mn)(ab)mambnanb. 2两个多项式相乘，不先计算能知道结果中(合并同类项前)有几项吗？ 3在计算中怎样才能不重不漏？ 这个法则，对于三个或三个以上的多项式相乘，是否适用？若适用，应怎样计算？ 学生活动：学生小组讨论、交流、发言汇报 三、练习巩固 1计算： (1)(x2)(x3)；(2)(3x1)(2x1) 2先化简，再求值： (3x2y)(y3x)(2xy)(3xy)，其中 x1 5， y1. 3甲、乙二人共同计算一道整式乘法：(2xa) (3xb)，由于甲抄错了第一个多项式 中 a 的符号，得到的结果为 6
28、x211x10；由于乙漏抄了第二个多项式中 x 的系数，得到的 结果为 2x29x10. (1)你能知道式子中 a，b 的值各是多少吗？ (2)请你计算出这道整式乘法的正确结果 四、小结与作业 小结 1多项式乘法，将多项式与多项式相乘转化为单项式与多项式相乘 2运用法则时，要有序地逐项相乘，做到不重不漏 3在计算含有多项式乘法的混合运算时，要注意运算顺序，计算结果要化简 作业 教材第 30 页习题 12.2 第 5，6 题 本节课推导多项式乘多项式法则时， 从单项式乘多项式法则入手， 用换元思想直接推导， 思维有根基 为防止本节课中最大错误漏乘现象， 教师设置了一个探究关于多项式相乘 后(没合
29、并同类项前)的项数问题，很好地避免了这个错误典例精析中的待定系数法初次接 触，注意对学习困难的学生进行及时指导 123 乘法公式 123.1 两数和乘以这两数的差 1能说出平方差公式的特点，并会用式子表示 2能使学生正确地利用平方差公式进行多项式的乘法 3通过平方差公式得出的过程，使学生明白数形结合的思想 重点 掌握平方差公式的特点，牢记公式 难点 具体问题要具体分析，会运用公式进行计算 一、创设情境 教师展示多媒体，引出问题学生自主解答 街心花园有一块边长为 a 米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要加长 2 米，而东 西方向要缩短 2 米问改造后的长方形草坪的面积是多少？ 解：(a2)(
30、a2)a24. 二、探究新知 请同学们计算： (1)(ab)(ab)； (2)(x3)(x3) 并结合计算结果思考下列问题： 1等式左边的两个多项式有什么特点？ 2等式右边的多项式有什么特点？ 3你能用上面的规律直接计算下列各式吗？ (1)(a2)(a2)； (2)(3a1)(3a1) 4你能用一句话归纳出上述等式的规律吗？ 5你有什么不清楚的问题想问老师吗？ 教师答疑总结： 对问题系列中的关键问题进行提问答疑教师提出两数和乘以这两数差的乘法公式： (ab)(ab)a2b2. 学生解决问题： 学生根据教师提出的问题，分组讨论，由小组长做好记录 学生反馈问题： 每组自告奋勇回答， 把解决问题的过
31、程和结果向教师和全班同学汇报 并提出自己小组 存在的问题 学出提出： (1)为什么两数和乘以这两数差的乘法公式是对的？ (2)(a2)(a2)型，可以用两数和乘以这两数差的乘法公式完成吗？ (3)怎样形式的多项式相乘可以用两数和乘以这两数差的乘法公式？(当然，我们的学生 还可能会问出许多我们事先不曾预料到的问题) 得出两数和乘以这两数差的乘法公式的基本特征：两个二项式相乘，一项相同，一项相 反，且相同的写在前面 教师提出问题：(你会用两数和乘以这两数差的乘法公式了吗？) 请你计算：(独立思考) 1计算： (1)(a3)(a3)； (2)(2a3b)(2a3b)； (3)(12c)(12c)；
32、(4)(2xy)(2xy) 2观察：(2x7)( )， 在括号内填入怎样的代数式， 才能运用两数和乘以这两数差的公式进行计算？由此你想 到了什么规律？ 学生动手，动脑：做教材第 31 页“试一试” 学生由面积相等推得两数和乘以这两数差的乘法公式：(ab)(ab)a2b2. 三、练习巩固 1计算：(yx)(yx)(x2y2)(x4y4) 2计算： (1)2017220162018； (2)3(41)(421)1. 四、小结与作业 小结 这一节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流， 在学生交流发言的基础上 教师归纳总结 作业 教材第 36 页习题 12.3 第 1 题 本节课重在应用平方
33、差公式计算， 而应用公式的关键是掌握平方差公式的特征， 在学生 合作探索平方差公式后，教师要求学生构造具有平方差公式的习题，并计算，具有开放性， 大大调动了学生的积极性与学习激情在典例精析中第(2)小题学生思维受阻时，让学生由 式子特征联想知识模型、构造平方差公式，再解决相应数学问题是数学创造性的表现！ 123.2 两数和(差)的平方 1能说出两数和的平方与两数差的平方公式的特点，并会用式子表示 2能正确地利用两数和的平方与两数差的平方公式进行多项式的乘法 3通过两数和的平方与两数差的平方公式的得出，使学生明白数形结合的思想 重点 掌握公式的特点，牢记公式 难点 具体问题，具体分析，灵活运用
34、一、创设情境 王老汉开辟了一个正方形的菜园，它的边长是(ab)，则它的面积是多少？ 学生活动：(ab)2a22abb2.(用多项式乘以多项式算得) 教师活动：有没有更简洁的方法？回答是有的，今天将给大家一个满意的回答 二、探究新知 1计算：(xa)(xb)_. 2在(xa)(xb)中，若 ab，那么上述式子将会成为怎样的式子？计算结果是什么？ 学生回答：变为(xa)(xa)，计算结果是 x22axa2.由此教师指出可得另一个乘法 公式，即(ab)2a22abb2，由此引入课题 3这个公式的左边和右边各有什么特点？ (引导学生观察，说出各公式左边和右边的特点，并能用语言叙述，教师再加以纠正、 完
35、善) 4(ab)2a2b2对吗？为什么？ (强化学生对公式结构的理解，防止今后出现类似的错误) 5你会用(ab)2a22abb2计算(ab)2吗？ 引导学生将“b”看作一个数，将(ab)2化为a(b)2a22a(b)(b)2a2 2abb2，并指出这也是一个乘法公式： (ab)2a22abb2. 6你能用图形证明(ab)2a22abb2及(ab)2a22abb2吗？ 在左图中，大正方形的面积是(ab)2, 它由两个小正方形和两个相等的长方形组成，两 个小正方形的面积分别是 a2，b2，长方形的面积是 ab，所以有等式(ab)2a22abb2. 在右图中，大正方形的面积是 a2，两个小正方形的面
36、积分别是(ab)2，b2，两个相等的 长方形面积都是(ab) b，于是有 a2(ab)22(ab) bb2，即(ab)2a22(ab) bb2 a22abb2. 7比较(ab)2a22abb2及(ab)2a22abb2这两个公式，它们有什么不同？有 什么联系？ 引导学生进一步总结公式的结构特点， 公式的左边是两数和(或差)的平方， 右边是一个 三项式，其中两项是这两个数的平方，另一项是这两个数积的 2 倍 (ab)2a22abb2. 这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的 2 倍 三、练习巩固 1计算： (1)(ab)2；(2)(3x2y)2；(3)(1 2m1) 2. 2已知
37、 xy4，xy2，求： (1)x2y2； (2)3x2xy3y2；(3)xy. 3已知 x2y26，xy5，求 xy. 4已知 a，b 满足(ab)21，(ab)225，试求 a2b2ab 的值 四、小结与作业 小结 1这两个公式是多项式乘法的特殊情况，熟记它们的特点 2公式中字母可以是数，也可以是单项式或多项式 3在解决具体问题时，要先考查题目是否符合公式的条件，然后再应用公式计算 4要特别注意一些易出现的错误，如：(a b)2a2b2. 作业 教材第 37 页习题 12.3 第 3，4 题 本节课在初中数学中占有重要地位， 特别是公式应完全掌握， 教学时为防止类比平方差 公式，出现(ab)
38、2a2b2的错误，教师给出了口诀，相信同学们都能掌握该公式的结构特 征 教材中将两数和的平方与两数差的平方分开推导， 本节课考虑到换元思想将两数和与两 数差的平方用两数和来推导， 进一步体现转化思想， 也加深了对两数和的平方公式的理解 本 节课中的公式恒等变形较灵活，逻辑性较强，对学习困难的学生给予更多指导与关心 124 整式的除法 124.1 单项式除以单项式 1理解掌握单项式除以单项式的法则 2会进行单项式除以单项式的运算 重点 运用单项式除以单项式的法则进行计算 难点 探求单项式除以单项式的方法 一、创设情境 我们知道“先看见闪电， 后听到雷声”， 那是因为在空气中光的传播速度是 310
39、8 m/s， 而声音在空气中的传播速度是 3.4102 m/s.在空气中光速是声速的多少倍？ 教师活动：如何列式？ 学生活动：(3108) (3.4102)? 教师活动：引导：(3.4102)_3108，(3108) (3.4102)_. 下面学习单项式除以单项式 二、探究新知 问题：(1)计算下列各式： 8a32a；6x3y3xy；12a3b2x33ab2. 1观察讨论：(1)中的三个式子是什么样的运算？ (这三个式子都是单项式除以单项式的运算) 2前面我们学过的同底数幂的除法运算，同学们思考一下可不可以用自己现有的知识 和数学方法解决“讨论”中的问题呢？ 讨论结果展示： 可以从两方面考虑：
40、 (1)从乘法与除法互为逆运算的角度去考虑 可以想象 2a ( )8a3，根据单项式与单项式相乘的运算法则，可以考虑：8 24， a3aa2，即 2a (4a2)8a3，所以 8a32a4a2. 同样的道理可以想象 3xy ( )6x3y，3ab2( )12a3b2x3； 考虑到 6 32，x3xx2，yy1；12 34， a3aa2，b2b21，所以得 3xy (2x2)6x3y；3ab2(4a2x3)12a3b2x3.所以 6x3y 3xy2x2；12a3b2x33ab24a2x3. (2)还可以从除法的意义去考虑 8a32a8a 3 2a 8 2 a3 a 4a2；6x3y3xy6x 3
41、y 3xy 6 3 x3 x y y2x 2；12a3b2x33ab212a 3b2x3 3ab2 12 3 a3 a b2 b2x 34a2x3. 上述两种算法有理有据，所以结果正确 其实单项式除以单项式可以分为系数相除、 同底数幂相除、 只在被除式里含有的字母不 变三部分运算 教师根据学生回答的情况，予以纠正、讲解，从而概括出单项式相除的法则 三、练习巩固 1计算： (1)24a3b2 3ab2； (2)21a2b3c3ab； (3)(6xy2)23xy. 2若 a2m nbna2b2anba4b，求 m，n 的值 3计算：(2x2y)3(7xy2) (14x4y3) 四、小结与作业 小结
42、 单项式相除：(1)系数相除；(2)同底数幂相除；(3)只在被除式里出现的字母的幂不变 作业 教材第 42 页习题 12.4 第 1 题(1)、(2)、(3) 本节课重点是如何运用单项式除以单项式法则，难点是单项式除以单项式法则的推 导在法则推导过程中利用乘法与除法的互逆运算关系，让学生自己发现、归纳，让学生自 己知其所以然为强化重点，通过典例互动探究提高学生运用法则、熟练计算的能力本节 课另外要注意转化的数学思想方法在解题中的运用 124.2 多项式除以单项式 理解多项式除以单项式的运算法则；会进行多项式除以单项式的运算 重点 运用多项式除以单项式的法则进行计算 难点 多项式除以单项式法则的
43、探求 一、创设情境 1大家已经会做单项式的除法，下面再来计算几个题目： (1)28x4y27x3y； (2)5a5b3c15a4b； (3)(2x2y)3(7xy2) 14x4y3； (4)5(2ab)4(2ab)2. 2根据除法的意义，你能计算出(1)(axbx) x；(2)(mambmc) m 的值吗？ 二、探究新知 学生主动探索， 教师适当引导与提示， 让学生体验并归纳出多项式除以单项式的运算法 则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加，用 式子表示为 (ambmcm) mam mbm mcm mabc. 教师特别强调： 用多项式的每一项除以这个单项式
44、， 不要只用第一项除而其余各项不除， 出现像“(ambmcm) mabmcm”这样的错误 实际上(axbx) x 就是要求一个式子，使它与 x 的乘积为 axbx. 因为 x(ab)axbx， 所以(axbx) xab. 同样(ambmcm) m 就是要求一个式子，使它与 m 的乘积为 ambmcm. 从而得到(ambmcm) mabc. 三、练习巩固 1计算： (1)(9x415x26x) 3x； (2)(28a3b2ca2b314a2b2) (7a2b) 2已知 2xy10，求代数式(x2y2)(xy)22y(xy) 4y 的值 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑
45、？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结 作业 教材第 41 页练习第 1，2 题 本节课学习多项式除以单项式的法则， 在多项式乘以单项式的基础上归纳多项式除以单 项式的法则，注意引导学生积极有效地探索 符号的确定是这一单元极为重要的问题，应引起学生的重视，反复强调，及时反思，另 外多项式除以单项式后商的项数与多项式的项数相同； 多项式的某一项与单项式相同时， 商 为 1.化简求值问题有时要用整体代入方法 125 因式分解 第 1 课时 因式分解(1) 1理解因式分解与整式乘法之间的互逆关系 2用提公因式法进行因式分解 重点 用提公因式法分解因式 难点 将多项式适当地变形并用提公因
46、式法分解因式 一、创设情境 1完成下列各题： (1)m(abc)_； (2)(ab)(ab)_； (3)(ab)2_. 2根据上面的计算，你会做下面的填空吗？ (1)mambmc( )( )； (2)a2b2( )( )； (3)a22abb2( )2； 观察讨论以上两组题目有什么不同点？又有什么联系？ 二、探究新知 1你能根据上面的分析说出什么是因式分解吗？ (把一个多项式化为几个整式的积的形式，这就是因式分解) 多项式 因式分解 整式乘法 (整式)(整式)(整式) 2判断下列各题是否为因式分解： (1)m(abc)mambmc； 不是因式分解，是整式乘法 (2)a2b2(ab)(ab)；
47、是因式分解，可以看成整式(ab)与整式(ab)的积 (3)a2b21(ab)(ab)1. 不是因式分解，因为最后形式不是积，而是和 像 mambmcm(abc)这种因式分解的方法叫提公因式法 试一试：请找出下列多项式中各项的相同因式(公因式)： (1)3a3b 的公因式是_3_； (2)24m2x16n2x 的公因式是_8x_； (3)2x(ab)3y(ab)的公因式是_(ab)_； (4)4ab2a2b2的公因式是_2ab_ 最后大家一起来总结公因式的特征： (1)公因式中的系数是多项式中各项系数的最大公约数； (2)公因式中的字母(或因式)是多项式中各项的相同字母(或因式)； (3)公因式
48、中字母(或因式)的指数取相同字母(或因式)的最小指数 三、练习巩固 1把下列多项式分解因式： (1)2p3q2p2q3； (2)xnxny； (3)a(xy)b(xy)； (4)4a3b2a2b2. 2已知 ab5，ab3，求 a2bab2的值 3计算：(1)9992999；(2)13.80.12586.21 8. 四、小结与作业 小结 1本节课你学到了什么？是否还有不明白的地方？ 2注意：在进行多项式的因式分解时，要先考虑提取公因式 作业 教材第 45 页练习第 2 题(1)、(2)，习题 12.5 第 1 题(1)、(2) 本节课内容量较大， 因式分解的概念， 将多项式变形选择适当的方法进行因式分解是本 节课的难点教学过程中，要及时关注学生，
