1、高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 概述： 在数学中逻辑用语的作用是至关重要的.在高中数学中， 作为基础数学语言， 常用 逻辑用语与其他内容有着密切联系， 它是正确地进行表达、 判断、 推理的基础.本章内容 特点是具体实例数学化、 符号化， 具有一定的抽象性. 知识网络 第十四章常用逻辑用语 常 用 逻 辑 用 语 命题与量词 基本逻辑联结词 充要条件 充分条件 必要条件 充要条件 命题的四种形式 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 112 第十四章常用逻辑用语 1.判断一个全称命题为真命题， 必须对限定集合
2、中的每一个元素x验证p（x）成立.一般用代数推理 给出证明.判定一个存在性命题为真， 只要在限定的集合M中， 找到一个x=x0， 使p（x0）成立即可； 如 果要证明存在性命题为假， 就要证明在限定集合M中的每一个x， 使p（x）不成立. 2.同一个存在性命题、 全称命题由于自然语言的不同， 可以有不同的表示方法. 如： 二、 重要概念剖析 14.1命题与量词 一、 知识图表 命题 能判断真假的语句叫做命题.一个命题， 常用小写英文字母表 示， 如p，q，r， . 全称量词与 全称命题 短语 “所有” 在陈述中表示所述事物的全体， 逻辑中通常叫做 全称量词， 并用符号 “坌” 表示. 含有全称
3、量词的命题， 叫做全称命题. 一般地， 设p（x）是某集合M的所有元素都具有的性质， 那么全称命 题就是形如 “对M中的所有x，p（x）” 的命题.用符号简记为 “坌xM，p（x）”. 存在量词与 存在性命题 短语 “有一个”、“有些”、“至少有一个” 在陈述中表示所述 事物的个体或部分， 逻辑中通常叫做存在量词， 并用符号 “埚” 表示. 含有存在量词的命题， 叫做存在性命题. 一般地， 设q（x）是某集合M的有些元素x具有的某种性质， 那么存 在性命题就是形如 “存在集合M中的元素x，q（x）” 的命题， 用 符号简记为 “埚xM，q（x）”. 命题全称命题 “坌xA，p（x）”存在性命题
4、 “埚xA，p（x）” 表示方法 所有的xA，p（x）成立 对一切xA，p（x）成立 对每一个xA，p（x）成立 任选一个xA，p（x）成立 凡xA， 都有p（x）成立 存在xA， 使p（x）成立 至少有一个xA， 使p（x）成立 对有些xA， 使p（x）成立 对某一个xA， 使p（x）成立 有一个xA， 使p（x）成立 （1） 有些作为猜想 的陈述句也算为命题 ， 如： “每一个不小于6 的偶数都是两个奇素数 之和.” （2） 有些全称命题 在文字叙述上省略了全 称量词， 在判断时要注 意， 如：“正方形都是 矩形” 省去了全称量词 “所有”. （3） 一个全称命题 可包含多个变量， 如 ：
5、 “坌a，bR，（a+b）（a2- ab+b2）=a3+b3.” （4） 一个存在性命 题也可包含多个变量 ， 如： “埚x，yZ，3x- 2y=10.” 要点提示: 113 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 三、 学习方法引导 例判断下列命题的真假， 并说明是全称命题还是存在性命题. （1）坌xR，x2+x+10； （2）埚，R，sin（+）=sin+sin. 思路引导：可用代数推理或举例的方法判断命题的真假. 解： （1） 因为xR.因此x2+x+1= x+ 1 2 2? 2+3 4 3 4 0恒成立
6、. 所以命题为真命题.此命题是全称命题. （2） 因为0R， 所以当=0 时， sin（+）=sin+sin成立. 所以命题为真命题.此命题是存在性命题. （2009 宁夏/海南） 有四个关于三角函数的命题： p1：埚xR，sin2 x 2 +cos2 x 2 = 1 2 p2：埚x，yR，sin（x-y）=sinx-siny p3：坌x0， 1-cos2x 2姨 =sinx p4：sinx=cosy圯x+y= 2 ， 其中的假命题是 （） A. p1，p4B. p2，p4C. p1，p3D. p2，p3 答案：A 四、 高考回眸 高考命题趋势：简易逻 辑 中 与 命 题 相 关 的 内 容，
7、 在每年的高考中均 有一定的体现.题型多 为选择题和填空题， 但 涉及内容比较广泛. 名师经验谈：正确理解 全称命题和存在性命题 的概念及表示形式是区 分两种命题的关键.要 注意文字语言和符号语 言的相互转化. 掌握判断全称命题 和存在性命题的一般方 法是正确解决此类问题 的基础. 114 第十四章常用逻辑用语 例分别指出由下列各组命题构成的 “p或q”、“p且q”、 “非 p” 形式的命题的真假. （1）p：2 姨 在集合x0 x 3 2 2? 中. 三、 学习方法引导 逻辑联结词 “且”、“或”、“非” 与集合的交、 并、 补运算有着密切的联系.设U为全集， 集 合A=xxp（x），B=x
8、xq（x）， 用逻辑联结词重新定义如下： AB=xp（x）q（x），AB=xp（x）q（x）， UA=x劭p（x） . 二、 重要概念剖析 14.2基本逻辑联结词 一、 知识图表 1.逻辑联结词 逻辑联结词含义 且 一般地， 用逻辑联结词 “且” 把命题p和q联结起来， 就得到一个 新命题， 记作pq， 读作 “p且q”. 或 一般地， 用逻辑联结词 “或” 把命题p和q联结起来， 就得到一个 新命题， 记作pq， 读作 “p或q”. 非 一般地， 对命题p加以否定， 就得到一个新命题， 记作劭p， 读作 “非 p” 或 “p的否定”. 2.真值表 pqpqpq劭p 真真真真假 真假假真假 假
9、真假真真 假假假假真 （1）存 在 性 命 题 p：埚xA，p（x）， 它 的否定是劭p：坌xA， 劭p（x）. （2）全 称 命 题q： 坌xA，q（x）.它的否定 是劭q：埚xA，劭q（x）. 要点提示: 115 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO （2）p： 方程x2-3x-1=0有两正根，q： 方程x2-3=0有两实数根. 思路引导：先判断命题p、q的真假， 然后利用真值表来判断 “p或 q”、“p且q”、 “非 p” 形式的命题的真假. 解： （1） 因为p为真， 而2 姨0B.存在x0R，2 x
10、0 ?0 C.对任意的xR，2x0D.对任意的xR，2x0 答案：D 14.3充分条件、 必要条件与命题的四种形式 一、 知识图表 1.充分条件与必要条件. 设集合A= xp（x），B= xq（x） . 定义集合观点理解 若p圯q， 则p是q的充分条件，q是p 的必要条件. 若集合A哿B， 则p是q的充分条件，q 是p的必要条件. 若p圯q且q圯p， 则p是q的充分不必要 条件，q是p的必要不充分条件. 若集合A芴B， 则p是q的充分不必要条 件， q是p的必要不充分条件. 若p圯q且q圯p， 则p是q的充分且必要 条件. 若集合A=B，p是q的充分必要条件，q 是p的充分必要条件. 高考命题
11、趋势：命题的 否定和命题真假的判断 是简易逻辑中的基本内 容 ， 也 是 高 考 常 考 内 容， 尤其是存在性命题 和全称命题的否定目前 出现频率较高， 要重视. 上述题目多以选择题出 现， 属中等偏易题目. 名师经验谈：对于此类 问题， 运用所学知识正 确判断p、q真假是关 键 ， 然 后 用 真 值 表 对 “p或q”、“p且q”、 “非 p” 形式命题的真 假进行判断. 1.判 断 命 题 充 分 、 必要条件的方法： （1） 定义法； （2） 利用集合间的 包含关系判断； （3） 利用等价关系 判断， 如 “q圯p圳劭p圯 劭q”. 2.证明命题的条件 是充要的， 既要证明充 分性又
12、要证明必要性. 要点提示: 116 第十四章常用逻辑用语 1.否命题与命题否定的区别. 首先， 只有 “如果p， 则q” 形式的命题才有否命题， 形式为 “如果劭p， 则劭q”.其他形式的命 题只有 “否定”， 而没有否命题.其次， 命题的否定与原命题一真一假， 而 “如果p， 则q” 的否命 题与原命题的真假可能相同也可能相反. 2.从命题的角度去理解充分条件、 必要条件和充要条件. 设原命题为 “如果p， 则q”， 则： （1） 若原命题为真， 则p是q的充分条件； （2） 若逆命题为真， 则p是q的必要条件； （3） 若原命题和逆命题都为真， 则p是q的充要条件. 二、 重要概念剖析 2
13、.命题的四种形式. （1） 四种命题的表示形式. 名称原命题逆命题否命题逆否命题 表示形式若p则q若q则p若劭p则劭q若劭q则劭p （2） 四种命题的关系. 如果p， 则q 如果非p， 则非q 如果q， 则p 如果非q， 则非p 互 否 互逆 互逆 逆否 逆否 互为 互为 互 否 例试写出下列命题的逆命题、 否命题、 逆否命题， 并判断其真 假： （1）坌x，yR， 如果xy=0， 则x=0； （2） 设a，b为向量， 如果ab， 则ab=0. 思路引导：利用四种不同形式的命题的定义即可求解. 解： （1） 原命题为 “坌x，yR， 如果xy=0， 则x=0”；（假） 逆命题为 “坌x，yR，
14、 如果x=0 ， 则xy=0”； （真） 否命题为 “坌x，yR， 如果xy0 ， 则x0”； （真） 逆否命题为 “坌x，yR， 如果x0 ， 则xy0”； （假） （2） 原命题为 “如果ab， 则ab=0”；（真） 三、 学习方法引导 3.在判定p与q之 间的因果关系时， 首先 分清条件是什么， 结论 是什么； 然后用条件去 推结论， 再用结论去推 条件， 推理方法可以是 直接证法也可以是间接 证法； 最后再指出条件 是结论的什么条件. 4.教材只研究 “如 果p， 则q” 形式的命题 的四种形式. 5.互为逆否的两个 命 题 等 价（ 同 真 或 同 假） .因此， 要证明原命 题也可
15、以只证明它的逆 否命题.互逆或互否的两 个命题不等价. 名师经验谈：（1） 写 出一个命题的逆命题、 否命题及逆否命题的关 键是正确找出原命题的 条件和结论， 然后依照 定义来写. 117 高中数学公式、 定理、 定律图表 GAOZHONG SHUXUE GONGSHI DINGLI DINGLU TUBIAO 四、 高考回眸 1.（2016年北京） 设a，b是向量， 则 “a=b” 是 “a+b=a-b” 的 （） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 答案：D 2.（2016年山东） 已知直线a，b分别在两个不同的平面， 内.则 “直线a和直线
16、b相交” 是 “平面和平面相交” 的 （） A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案：A 3.（2016年上海） 设aR， 则 “a1” 是 “a21” 的 （） A.充分非必要条件B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分也非必要条件 答案：A 逆命题为 “如果ab=0， 则ab”；（真） 否命题为 “如果a不垂直于b， 则ab0”；（真） 逆否命题为 “如果ab0， 则a不垂直于b”.（真） 高考命题趋势：命题的 四种形式和充分必要条 件是简易逻辑中的重要 内容.属高考的必考内 容， 常体现在选择题和 填空题中， 也常渗透于 解答题中， 今后的高考 中仍会以不同形式对学 生进行考查. （2） 在判断原命题及其 逆命题、 否命题以及逆 否命题的真假时， 要应 用 “原命题与其逆否命 题同真或同假； 逆命题 与否命题同真或同假” 来判定. 118
