1、专题专题 4.1导数小题（导数小题（1） 一、单选题 1已知函数( )sincosf xaxx在点(0，(0)f处切线和直线2yx垂直，则实数a的值为( ) A1B2C1D2 2已知若 x eylnyx，则() AxyBxlnyCxyDxlny 3若函数( ) x f xelnxmx在区间(1,)上单调递增，则实数m的取值范围() A(,1)eB(，1eC(,1)eD(，1e 4已知函数( )42sinf xxx，则使不等式(1)(12 )0f mfm成立的实数m的取值范围为( ) A(,2)B(2,)C(,0)D(0,) 5已知函数 1 ( )() x f xelnxaxa aR ，1x，)
2、时，若( ) 1f x 恒成立，则a的取值范围 为() A(，0B(,0)C( 1，0D0，) 6若函数( ) m f xxmlnx x 在区间3，5上不是单调函数，则实数m的取值范围是() A 9 ( 4 ， 25) 6 B(8,)C 25 6 ，)D 9 4 ，8) 7设实数0t ，若不等式0 tx lnx e t 对于任意(0,)x恒成立，则t的取值范围为() A 1 ,) e B 1 (0, ) e C 1 ,) 2e D 1 (0, 2e 8已知函数 2 2 1 ( )() x e f xlnx kxx ，若函数( )f x有三个极值点，则实数k的取值范围为() A4e， 22 2)
3、(2ee，)B0，4 e C(4e， 22 2)(2ee，)D0，4 ) e 二、多选题 9已知 32 ( )f xxpxqx的图象与x轴相切于非原点的一点，且 32 ( ) 27 f x 极大值 ，那么下列结论 正确的是() A6p ，9q B4p ，2q C4p ，4q D( )f x的极小值为 0 10若函数( )f x lnx在( )f x的定义域上单调递增，则称函数( )f x具有M性质下列函数中所有具 有M性质的函数为() A 1 ( )f x e B( )1f xxC 1 ( ) x f x e D( ) x f xe 11若定义在R上的函数( )f x满足(0)1f ，其导函数
4、( )fx满足( )1fxm，则下列成立的有 () A 11 () m f mm B 1 ()1f m C 11 () 11 f mm D 1 ()0 1 f m 12设函数( ) x e f x lnx ，则下列说法正确的是() A( )f x的定义域是(0,) B当(0,1)x时，( )f x的图象位于x轴下方 C( )f x存在单调递增区间 D( )f x有且仅有两个极值点 三、填空题 13已知函数 2 1 ( )() 2 f xxlnxae x在 1 ( ,) 2 上是增函数，则实数a的取值范围是 14 已知 2 1 ( ) 2 f xalnxx， 若对任意两个不等的正实数 1 x、
5、212 ()xxx都有 12 12 ()() 2 f xf x xx 成立， 则实数a的取值范围是 15 已知( )f x为偶函数 当0 x 时， 2 ( )( x f xeex e是自然对数的底数） 则曲线( )yf x在1x 处的切线方程是 16用符号 x表示不超过x的最大整数，例如： 1.22 ，0.60，22已知函数 3 ( )f xx lnx，当( )f x的值域为 6 (2e，)时，log( ) x f x的值为 专题专题 4.1导数小题（导数小题（1）答案）答案 1解：( )sincosf xaxx， 00 ( )|( cossin )| xx fxaxxa ，即( )f x在点
6、(0，(0)f处切线的斜率ka， ( )sincosf xaxx在点(0，(0)f处切线和直线2yx垂直， 1a ， 故选：C 2解：由题意知 x eylnyx， 则 xlny exylnyelny， 构造函数( ) x g xex，则( )10 x g xe ， 故( )g x在R递增，故( )()g xg lny， 故xlny， 故选：B 3解：由题意，函数( ) x f xelnxmx，可得 1 ( ) x fxem x ， 因为函数( )f x在(1,)上单调递增，即( ) 0fx在(1,)上恒成立， 即 1 x m e x 在(1,)上恒成立， 设 1 ( ),(1,) x g xe
7、x x ，则 2 1 ( )0 x g xe x ， 所以函数( )g x在(1,)为单调递增函数，所以m g（1）1e， 即实数m的取值范围是(，1e 故选：B 4解：因为()42sin( )fxxxf x ， 所以( )42sinf xxx为奇函数， 又( )42cos0fxx， 所以( )f x也是增函数， 因此(1)(12 )0(1)(12 )(1)(21)121f mfmf mfmf mfmmm ， 解得(2,)m， 故选：B 5解：函数 1 ( )() x f xelnxaxa aR ，1x，)，f（1）1 1 1 ( )( ) x fxeag x x ，1x，)，可得函数( )g
8、 x在1x，)上单调递增， f（1）a ， 令f（1）0a ，解得0a 函数( )f x在1x，)上单调递增，( )f xf（1）1，满足题意 令f（1）0a ，解得0a 存在 0 1x ，使得 0 ()0fx， 函数( )f x在1x， 0) x上单调递减， 0 ()f xf（1）1，不满足题意，舍去 综上可得函数( )f x的取值范围为(，0 故选：A 6解：由题意知 2 22 ( )1(0) mmxmxm fxx xxx ， 令 2 ( )g xxmxm， 若函数( ) m f xxmlnx x 在区间3，5上是单调函数， 则( ) 0g x 或( ) 0g x 对于任意的3x，5恒成立
9、，即 2 1 x m x 或 2 1 x m x 对任意的3x，5恒成 立， 设 2 ( ) 1 x h x x ，3x，5， 则 22 22 2 (1)2 ( )0 (1)(1) x xxxx h x xx ，故 2 ( ) 1 x h x x 在3，5上单调递增， 故 9 ( )4h x ， 25 6 ， 故 9 4 m或 25 6 m， 因为函数( ) m f xxmlnx x 在区间3，5上不是单调函数，故 925 46 m， 即实数m的取值范围是 9 ( 4 ， 25) 6 ， 故选：A 7解：0 tx lnx e t 对于任意(0,)x恒成立， tx telnx，即 txlnx t
10、xexlnxlnx e， 令( )(0) x F xxex，则( )(1)0 x F xxe， 故( )F x在(0,)单调递增， 故tx lnx，故 lnx t x ，问题转化为 lnx t x 的最大值， 令( ) lnx h x x ，则 2 1 ( ) lnx h x x ， 令( )0h x，解得：0 xe，令( )0h x，解得：xe， 故( )h x在(0, ) e递增，在( ,)e 递减， 故( )h x的最大值是h（e） 1 e ， 故t的取值范围是 1 e，)， 故选：A 8解：( )f x的定义域是(0,)， 2 2 323 (22)11 ( )(1)(2) x x xe
11、x fxxekx kxxkx ， 显然1x 时，( )0fx，令 2 ( )2 x g xekx有 2 个零点， 令 2 ( )40 x g xek，得 2 4 x k e， 当0 x 时， 20 1 x ee，当1 4 k 时，4k，无解， 当4k 时，由 2 4 x k e，得 1 24 k xln， 当 1 24 k xln时，( )0g x，当 1 0 24 k xln时，( )0g x， 故( )g x在 1 (0,) 24 k ln递减，在 1 (2 4 k ln，)递增， 故 1 ( )()(1)0 2424 min kkk g xglnln有两个解， 故4ke，而( )g x不
12、能有1x 这个解，故 2 2ke，此时( )0fx有 3 个解，即函数( )f x有三个极 值点， 故k的取值范围是(4e， 22 2)(2ee，)， 故选：C 9解： 2 ( )32fxxpxq， 设 32 ( )f xxpxqx的图象与x轴相切于非原点的一点( ,0)a，(0)a 2 ( )()f xx xpxq， 由题意得，方程 2 0 xpxq有两个相等实根a， 所以 2322 ( )()2f xx xaxaxa x， 22 ( )34()(3)fxxaxaxaxa， 令( )0fx可得xa或 3 a x ， 因为f（a） 32 0 27 ， 所以 32 ( ) 327 a f，即 2
13、 32 () 3 327 a a a，2a 所以 232 ( )(2)44f xx xxxx， 所以4p ，4q ， 此时函数( )f x的极小值f（a）0，故D正确， 故选：CD 10解：根据题意，设( )( )g xf x x 对于A， 1 ( )f x e ，则( ) lnx f x x e ，其定义域为(0,)，易得( )f x x在(0,)上为增函数，符合 题意； 对于B，( )1f xx，则( )(1)f x xxlnx，其定义域为(0,)，有 1 ( ) x g xlnx x ， 在区间(0,1)上，( )0g x，函数( )f x x为减函数，不符合题意； 对于C， 1 ( )
14、 x f x e ，则( ) x lnx f x e ，其定义域为(0,)，有 111 ( )() xxx lnx g xlnx exeex ， 在区间( ,)e 上，( )0g x，函数( )f x x为减函数，不符合题意； 对于D，( ) x f xe，则( ) x f xe lnx，其定义域为(0,)，有 1 ( )() x xx e g xe lnxe lnx xx ， 都有( )0g x，( )f x x在(0,)上为增函数，符合题意； 故选：AD 11解：根据题意，设( )( )g xf xmx，则其导数( )( )g xfxm， 又由( )1fxm，则( )g x在区间R上为增函
15、数， 对于A，又由1m ，则 1 01 m ， 1 ()(0)gg m ，即 11 ()(0)fmf mm ，即 1 ()11f m ，变形 可得： 1 ()0f m ； 又由1m ，则 1 0 m m ，必有 11 () m f mm ，A正确； 对于C，由于1m ，则 1 0 1m ，则有 1 ()(0) 1 gg m ，即 1 ()(0)1 11 m ff mm ，变形可得 11 ()1 111 m f mmm ，故C正确，D错误； 故选：AC 12解：函数( ) x e f x lnx ，则函数的定义域为(0，1)(1，)， 2 1 () ( ) x e lnx x fx ln x ，
16、 令 1 ( )g xlnx x ， 2 11 ( )0g x xx 恒成立， ( )g x在(0,)上单调递增， g（1）1 ，g（2） 1 20 2 ln， 存在 0 (1,2)x 使得 0 ()0g x， 当(0,1)x， 0 (1,)x时，( )0fx，当 0 (xx，)时，( )0fx， ( )f x在(0,1)， 0 (1,)x上单调递减，在 0 (x，)单调递增， 当0 x 时，( )0f x ， 当(0,1)x时，( )f x的图象位于x轴下方， 当 0 xx时，函数( )f x取的极小值，无极大值，故有一个极值点， 综上可判断，B，C正确， 故选：BC 13解： 2 1 (
17、)() 2 f xxlnxae x在 1 ( ,) 2 上是增函数， 11 ( )0() 2 fxxaex x ， 1 ()minaex x ， 由基本不等式得： 1 2x x （当且仅当 1 x x ，即1x 时取“”)， 1 ()2 min x x ， 2ae ，解得2a e， 故答案为：2e ，)， 14解：对任意两个不等的正实数 1 x， 2 x，都有 12 12 ()() 2 f xf x xx 恒成立， 则当0 x 时，( )2fx恒成立， ( )2 a fxx x 在(0,)上恒成立， 则 2 (2)maxaxx， 而 22 2(1)1 1yxxx ， 当1x 时“”成立， 故a
18、的取值范围是1，)， 故答案为：1，) 15解：由( )f x为偶函数，可得()( )fxf x， 当0 x 时， 2 ( ) x f xeex， 可得0 x 时， 2 ( )() x f xfxeex ， 所以0 x 时，( )f x的导数为( )2 x fxeex ， 可得曲线( )yf x在1x 处的切线斜率为 1 2ee ， 切点为 1 (1,)ee ， 所以曲线( )yf x在1x 处的切线方程是 11 (2 )(1)yeeee x ， 即为 11 (2 )2yee xee 故答案为： 11 (2 )2yee xee 16解： 3 ( )f xx lnx，则 232 1 ( )3(3
19、1)fxx lnxxxlnx x ， 令( )0fx，则 1 3 xe ， 当 1 3 0 xe 时，( )0fx，则( )f x单调递减， 当 1 3 xe 时，( )0fx，则( )f x单调递增， 所以当 1 3 xe 时，( )f x取得最小值 1 3 1 () 3 f e e ， 又因为( )f x的值域为 6 (2e，)，且 26 ()2f ee， 所以要使得 6 ( )2f xe，则 2 xe， 令 3 ()2 () ( )log( )()666 xxx ln lnxln lnx h xf xlogx lnxloglnx lnxln x ， 令slnx，则 2 ( )( )6(2) lns h xm ss s ， 所以 2 2(1) ( ) lns m s s ，令( )0m s，解得se， 当2se时，( )0m s，则( )m s单调递增， 当se时，( )0m s，则单调递减， 所以当se时，( )m s取得最大值m（e） 2 6 e ， 又21s ，所以 2 0 lns s ，故( )6m s ， 所以 2 6( ) 6m s e ， 则log( ) x f x的值为 6 故答案为：6
