1、10.2事件的相互独立性 基础过关练 题组一相互独立事件的判断 1.(2020 山西太原五中高一期末)下列各对事件中,A,B 是相互独立事 件的是() A.一枚硬币掷两次,A 表示“第一次为正面”,B 表示“第二次为反 面” B.袋中有 2 个白球,2 个黑球,除颜色外完全相同,不放回地摸球两次,每 次摸出一球,A 表示“第一次摸到白球”,B 表示“第二次摸到白球” C.掷一枚质地均匀的骰子一次,A 表示“出现的点数为奇数”,B 表示 “出现的点数为偶数” D.A表示“一个灯泡能用1 000小时”,B表示“一个灯泡能用2 000 小时” 2.若 P(AB)=1 9,P(?)= 2 3,P(B)
2、= 1 3,则事件 A 与 B 的关系是( ) A.事件 A 与 B 互斥 B.事件 A 与 B 对立 C.事件 A 与 B 相互独立 D.事件 A 与 B 既互斥又独立 3.(2020 山东济南历城二中高一下检测)袋内有 3 个白球和 2 个黑球, 从中有放回地摸球,用 A 表示“第一次摸到白球”,如果“第二次摸到 白球”记为 B,“第二次摸到黑球”记为 C,那么事件 A 与 B,A 与 C 间 的关系是 本资料分享自千人教师本资料分享自千人教师 QQQQ 群群 323031380期待你的加入与分享期待你的加入与分享 (深度解析) A.A 与 B,A 与 C 均相互独立 B.A 与 B 相互
3、独立,A 与 C 互斥 C.A 与 B,A 与 C 均互斥 D.A 与 B 互斥,A 与 C 相互独立 4.已知 A,B 是两个相互独立事件,P(A),P(B)分别表示它们发生的概率, 则 1-P(A)P(B)表示的是() A.事件 A,B 同时发生的概率 B.事件 A,B 至少有一个发生的概率 C.事件 A,B 至多有一个发生的概率 D.事件 A,B 都不发生的概率 5.掷一枚骰子一次,记 A 表示事件“出现偶数点”,B 表示事件“出现 3 点或 6 点”,则事件 A 与 B 的关系是() A.互斥事件 B.相互独立事件 C.既互斥又相互独立事件 D.既不互斥又不相互独立事件 题组二相互独立
4、事件的概率计算 6.若 A,B 是相互独立事件,且 P(A)=1 4,P(B)= 2 3,则 P(A?)=( ) A. 1 12 B.1 6 C.1 4 D.1 2 7.在某段时间内,甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在 这段时间内两地是否下雨之间没有影响,则这段时间内,甲、乙两地都 不下雨的概率为() A.0.12B.0.88C.0.28D.0.42 8.(2020 贵州贵阳一中高一期末)袋中装有红、黄、蓝 3 种颜色的球 各 1 个,这些球除颜色外完全相同,从中每次任取 1 个,有放回地抽取 3 次,则 3 次全是红球的概率为() A.1 4 B.1 9 C.1 3 D.
5、 1 27 9.如图所示,A,B,C 表示 3 个开关,若在某段时间内,它们正常工作的概 率分别为 0.9,0.8,0.8,则该系统的可靠性(3 个开关只要一个开关正常 工作即可靠)为() A.0.504B.0.994C.0.996D.0.964 10.甲和乙两人各投篮一次,已知甲投中的概率是 0.8,乙投中的概率是 0.6,则恰有一人投中的概率为() A.0.44B.0.48C.0.88D.0.98 11.某自助银行设有两台ATM机,在某一时刻这两台ATM机被占用的 概率分别为1 3, 1 2,则客户此刻到达需要等待的概率为 . 12.在某校运动会中,甲、乙、丙三支足球队进行单循环赛(即每两
6、队比 赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得 3 分,负者得 0 分,没有平局.在每一 场比赛中,甲胜乙的概率为1 3,甲胜丙的概率为 1 4,乙胜丙的概率为 1 3. (1)求甲队获第一名且丙队获第二名的概率; (2)求在该次比赛中甲队至少得 3 分的概率. 能力提升练 题组相互独立事件的概率计算 1.()甲、 乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获 冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同,则甲 队获得冠军的概率为() A.3 4 B.2 3 C.3 5 D.1 2 2.()同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为 x,转盘乙 得到的数为 y(若指针停在边界
7、上则重新转),x,y 构成数对(x,y),则所有 数对(x,y)中满足 xy=4 的概率为() 甲乙 A. 1 16 B.1 8 C. 3 16 D.1 4 3.(2020 福建福州第一中学高一期末,)某校在秋季运动会中安排了 篮球投篮比赛,现有 20 名同学参加篮球投篮比赛,已知每名同学投进 的概率均为 0.4,每名同学有 2 次投篮机会,且各同学投篮之间没有影 响,现规定:投进两个得 4 分,投进一个得 2 分,一个未进得 0 分,则其中 一名同学得 2 分的概率为() A.0.5 B.0.48C.0.4 D.0.32 4.(多选)(2020 湖北武汉二中高一期末,)如图所示的电路中,5
8、个盒 子表示保险匣,设 5 个盒子分别被断开为事件 A,B,C,D,E.盒中所示数 值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是() A.A,B 两个盒子串联后畅通的概率为1 3 B.D,E 两个盒子并联后畅通的概率为 1 30 C.A,B,C 三个盒子混联后畅通的概率为5 6 D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为29 36 5.(2020广东执信中学高一月考,)一道数学竞赛试题,甲同学解出它 的概率为1 2,乙同学解出它的概率为 1 3,丙同学解出它的概率为 1 4,由甲、 乙、 丙三人独立解答此题,则只有一人解出的概率为. 6.()设甲、乙、丙三台机器是否需要被照顾相互之间没有影响,
9、已知 在某一小时内,甲、乙都需要被照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要被照 顾的概率为 0.1,乙、丙都需要被照顾的概率为 0.125,则甲、乙、丙三 台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为,. 深度解析 7.(2020辽宁省实验中学高一月考,)某田径队有三名短跑运动员,根 据平时训练情况统计甲、乙、丙三人 100 米跑(互不影响)的成绩在 13 s 内(称为合格)的概率分别为2 5, 3 4, 1 3,若对这三名短跑运动员的 100 米跑的成绩进行分析,求: (1)三人都合格的概率; (2)三人都不合格的概率; (3)出现几人合格的概率最大.深度解析 8.()某公司招聘员工,指定三门考试课
10、程,有两种考试方案. 方案一:考三门课程,至少有两门及格为考试通过. 方案二:在三门课程中随机选取两门,这两门都及格为考试通过. 假设某应聘者三门指定课程考试及格的概率分别为 0.5,0.6,0.9,且三 门课程考试是否及格相互之间没有影响.求: (1)该应聘者用方案一考试通过的概率; (2)该应聘者用方案二考试通过的概率. 答案全解全析答案全解全析 基础过关练 1.A在 A 中,把一枚硬币掷两次,对于每次而言是相互独立的,其结果不受先后影 响,故 A 中两事件是相互独立事件;在 B 中,显然事件 A 与事件 B 不相互独立;在 C 中,A,B 为互斥事件,不相互独立;在 D 中,事件 B 受
11、事件 A 的影响,A 不发生则 B 一 定不发生,故事件 A 与事件 B 不相互独立. 2.CP(?)=2 3,P(A)=1-P(?)=1- 2 3= 1 3,P(AB)=P(A)P(B)= 1 90, 事件 A 与 B 相互独立且事件 A 与 B 不是互斥,也不是对立事件. 3.A由于摸球是有放回的,所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影 响,故事件 A 与 B,A 与 C 均相互独立.因为 A 与 B,A 与 C 均有可能同时发生,所以 A 与 B,A 与 C 均不互斥,故选 A. 方法技巧 互斥事件、对立事件、相互独立事件的关系: 1.互斥事件 A,B 不可能同时发生,但可能同时不
12、发生. 2.对立事件必有一个发生一个不发生.对立事件 A,B 中,A+B 为一个必然事件. 3.两个相互独立的事件既可以同时发生,也可以同时不发生,或一个发生另一个不 发生.相互独立事件 A,B 同时发生记作“AB”或“AB”(又称积事件). 4.相互独立事件和互斥事件是两个不同的概念,它们之间没有直接关系. 4.C由题意知,P(A)P(B)是指 A,B 同时发生的概率,故 1-P(A)P(B)是指 A,B 不同 时发生的概率,即至多有一个发生的概率. 5.B因为该试验的样本空间=1,2,3,4,5,6,A=2,4,6,B=3,6,AB=6,所以 P(A)=1 2,P(B)= 1 3,P(AB
13、)= 1 6= 1 2 1 3=P(A)P(B),所以A与B是相互独立事件.因为事件A 与事件 B 包含一个共同事件:出现 6 点,所以事件 A 与事件 B 不互斥.故选 B. 6.AA,B 是相互独立事件,A 与?也是相互独立事件, P(A)=1 4,P(B)= 2 3, P(A?)=P(A)P(?)=1 4 1 2 3 = 1 12.故选 A. 7.D甲、乙两地都不下雨的概率为(1-0.3)(1-0.4)=0.42. 8.D有放回地抽取 3 次,每次可看作一个独立事件.每次取出的球为红球的概率 为1 3,“3 次全是红球”为三个独立事件同时发生,其概率为 1 3 1 3 1 3= 1 27
14、. 9.C由题意知,所求概率为 1-(1-0.9)(1-0.8)(1-0.8)=1-0.004=0.996. 10.A设事件A=“甲投中”,事件B=“乙投中”,则P(A)=0.8,P(B)=0.6,所以恰 有一人 投中的概率为 P(A?+?B)=P(A?)+P(?B)=P(A)P(?)+P(?)P(B)=0.80.4+0.20.6=0.44. 11.答案 1 6 解析客户需要等待意味着这两台 ATM 机同时被占用,故所求概率为1 3 1 2= 1 6. 12.解析(1)甲队获第一名且丙队获第二名就是甲胜乙,甲胜丙且丙胜乙.各队比 赛相互独立,设甲队获第一名且丙队获第二名为事件 A,则 P(A)
15、=1 3 1 4 1 1 3 = 1 18. (2)甲队至少得 3 分有两种情况:甲队两场只胜一场;甲队两场都胜.设事件 B 为 “甲队两场只胜一场”,事件 C 为“甲队两场都胜”,则事件“甲队至少得 3 分” 为 BC,所以 P(B C)=P(B)+P(C)=1 3 1 1 4 +1 4 1 1 3 +1 3 1 4= 1 2. 能力提升练 1.A甲队获得冠军包含两种情况:第一种,比赛 1 局,且甲赢,其概率 P1=1 2;第二种, 需比赛2 局,第一局甲负,第二局甲赢,其概率 P2=1 2 1 2= 1 4.故甲队获得冠军的概率为 P1+P2=3 4. 2.C满足 xy=4 的所有可能如下
16、: x=1,y=4;x=2,y=2;x=4,y=1. 所以所 求事件的概率 P=P(x=1,y=4)+P(x=2,y=2)+P(x=4,y=1)=1 4 1 4+ 1 4 1 4+ 1 4 1 4= 3 16. 3.B设事件 A=“第一次投进球”,B=“第二次投进球”,则得 2 分的概率 P=P(A?)+P(?B)=0.4(1-0.4)+(1-0.4)0.4=0.48. 4.ACD由题意知,P(A)=1 2,P(B)= 1 3,P(C)= 1 4,P(D)= 1 5,P(E)= 1 6,所以 A,B 两个盒子串 联后畅通的概率为1 2 2 3= 1 3,因此 A 正确;D,E 两个盒子并联后畅
17、通的概 率为 1-1 5 1 6=1- 1 30= 29 30,因此 B 错误;A,B,C 三个盒子混联后畅通 的概率为 1-2 3 1 4=1- 1 6= 5 6,C 正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为 29 30 5 6= 29 36,D 正确.故选 ACD. 5.答案 11 24 解析只有 一人解出的概率 P=1 2 1 1 3 1 1 4 + 1 1 2 1 3 1 1 4 + 1 1 2 1 1 3 1 4= 11 24. 6.答案0.2;0.25;0.5 解析记“机器甲需要被照顾”为事件 A,“机器乙需要被照顾”为事件 B,“机 器丙需要被照顾”为事件 C,由题意可知 A,B
18、,C 是相互独立事件. 由题意得 ?(?)=?(?)?(?)=0.05, ?(?t)=?(?)?(t)=0.1, ?(?t)=?(?)?(t)=0.125, 解得 ?(?)=0.2, ?(?)=0.25, ?(t)=0.5. 所以甲、乙、丙三台机器在这一小时内需要被照顾的概率分别为 0.2,0.25,0.5. 方法技巧 对于相互独立事件的概率公式的逆用问题,仍按正向解决的原则进行解题,即可先 设出一些未知量,再根据已知条件列出相应的方程(组),由方程(组)求出未知量的 值,从而解决问题. 7.解析设甲、 乙、 丙三人 100 米跑的成绩合格分别为事件 A,B,C,显然事件A,B,C 相互独立,
19、且 P(A)=2 5,P(B)= 3 4,P(C)= 1 3. 设恰有 k 人合格的概率为 Pk(k=0,1,2,3). (1)三人都合格的概率为 P3=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=2 5 3 4 1 3= 1 10. (2)三人都不合格的概率为 P0=P(?t)=P(?)P(?)P(t)= 1 2 5 1 3 4 1 1 3 = 1 10. (3)恰有两人合格的概率为 P2=P(ABt)+P(A?C)+P(?BC)=2 5 3 4 1 1 3 +2 5 1 3 4 1 3+ 1 2 5 3 4 1 3= 23 60. 恰有一人合格的概率为 P1=1-P0-P2-P3=1- 1 1
20、0- 23 60- 1 10= 25 60= 5 12. 综上可知,恰有一人合格的概率最大. 知识补充 已知 A,B,C 是相互独立 事件,则 P(ABC)=P(A)P(B)P(C),P(?t)=P(?)P(?)P(t),P(?BC)=P(?)P(B)P(C),P(?C) =P(?)P(?)P(C),其中 P(?)=1-P(A),P(?)=1-P(B),P(t)=1-P(C). 8.解析记该应聘者三门指定课程考试及格的事件分别为 A,B,C,则 P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.9. (1)应聘者用方案一考试通过的概率 P1=P(ABt)+P(?BC)+P(A?C)+P(ABC) =0.50.6(1-0.9)+(1-0.5)0.60.9+0.5(1-0.6)0.9+0.50.60.9=0.75. (2)应聘者用方案二考试通过的概率 P2=1 3P(AB)+ 1 3P(BC)+ 1 3P(AC) =1 30.50.6+ 1 30.60.9+ 1 30.50.9 =0.43.
