1、题组层级快练题组层级快练(四十五四十五) 一、单项选择题 1若直线 ab，且直线 a平面，则直线 b 与平面的位置关系是() AbBb Cb或 bDb 与相交或 b或 b 答案D 解析b 与相交或 b或 b都可以 2下列各图是正方体和正四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的 图形是() 答案D 解析在 A 中，易证 PSQR，P，Q，R，S 四点共面 在 B 中，P，Q，R，S 四点共面，如图所示，证明如下： 取 BC 中点 N，可证 PS，NR 交于直线 B1C1上一点 E，P，N，R，S 四点共面，设为. 可证 PSQN，P，Q，N，S 四点共面，设为. ，都经过 P
2、，N，S 三点，与重合，P，Q，R，S 四点共面 在 C 中，易证 PQSR，P，Q，R，S 四点共面 在 D 中，QR平面 ABC，PS平面 ABC P 且 PQR， 直线 PS 与 QR 为异面直线P，Q，R，S 四点不共面 3将下面的平面图形(图中每个点都是正三角形的顶点或边的中点)沿虚线折成一个正四面 体后，直线 MN 与 PQ 是异面直线的是() AB CD 答案C 解析图翻折后点 N 与点 Q 重合，两直线相交；图翻折后两直线平行故选 C. 4空间不共面的四点到某平面的距离相等，则这样的平面的个数为() A1B4 C7D8 答案C 解析 当空间四点不共面时， 则四点构成一个三棱锥，
3、 如图 当平面一侧有一点， 另一侧有三点时， 即截面与四个面之一平行时， 满足条件的平面有 4 个； 当平面一侧有两点， 另一侧有两点时， 满足条件的平面有 3 个，所以满足条件的平面共有 7 个 5.如图所示， 在底面为正方形， 侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCDA1B1C1D1中， AA12AB， 则异面直线 A1B 与 AD1所成角的余弦值为() A.1 5 B.2 5 C.3 5 D.4 5 答案D 解析连接 BC1，易证 BC1AD1，则A1BC1即为异面直线 A1B 与 AD1所成的角(或其补 角) 连接A1C1， 设AB1， 则AA12， A1C1 2， A1BBC1 5， 故co
4、sA1BC1 552 2 5 5 4 5. 6 (2020江西景德镇模拟)将图中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的中线折起得到空 间四面体 ABCD(如图)，则在空间四面体 ABCD 中，AD 与 BC 的位置关系是() A相交且垂直B相交但不垂直 C异面且垂直D异面但不垂直 答案C 解析在题图中，ADBC，故在题图中，ADBD，ADDC，又因为 BDDCD， 所以 AD平面 BCD，又 BC平面 BCD，D 不在 BC 上，所以 ADBC，且 AD 与 BC 异 面，故选 C. 7(2020广西钦州质检)在四面体 ABCD 中，E，F 分别为棱 AC，BD 的中点，AD6，BC 4
5、，EF 2，则异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为() A.3 4 B.5 6 C. 9 10 D.11 12 答案D 解析本题考查异面直线所成角的余弦值 取 CD 的中点 G，连接 EG，FG，则 FGBC，EGAD， 则EGF 为异面直线 AD 与 BC 所成的角(或补角) 因为 FG1 2BC2，EG 1 2AD3， 所以 cosEGF492 223 11 12，故异面直线 AD 与 BC 所成角的余弦值为 11 12. 8.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N 分别是 BC1，CD1的 中 点，则下列说法错误的是() AMN 与 CC1垂直 BMN 与 AC 垂直
6、CMN 与 BD 平行 DMN 与 A1B1平行 答案D 解析如图，连接 C1D， 在C1DB 中，MNBD，故 C 正确； 因为 CC1平面 ABCD，所以 CC1BD， 所以 MN 与 CC1垂直，故 A 正确； 因为 ACBD，MNBD， 所以 MN 与 AC 垂直，故 B 正确； 因为 A1B1与 BD 异面，MNBD， 所以 MN 与 A1B1不可能平行，故 D 错误 9(2021吉林长春模拟)已知直线 a 和平面，有如下关系：；a； a.则下列命题为真命题的是() AB CD 答案C 解析本题考查空间中有关线面位置关系的命题真假的判断 由可知，a或 a，A 错误； 由可知，a 与的
7、位置关系不确定，B 错误； 过直线 a 作平面，使得b，a，ab.a，b.b， C 正确； 由可知，a，D 错误 10(2021福建三明质检)已知四边形 ABCD 是矩形，PA平面 ABCD，AB1，BC2， PA2，E 为 BC 的中点，则异面直线 AE 与 PD 所成的角为() A. 6 B. 4 C. 3 D 答案C 解析本题考查异面直线所成角的大小 分别取 AD，PA 的中点 F，G，连接 CF，AC，FG，CG. 四边形 ABCD 为矩形，E，F 分别为 BC，AD 的中点，AF 綊 EC， 四边形 AFCE 为平行四边形，CFAE. F，G 分别为 AD，PA 的中点，FGPD.
8、异面直线 PD 与 AE 所成角即为CFG(或其补角) PA平面 ABCD，AC平面 ABCD， PAAC. CG AG2AC2 114 6. 又 CF 11 2，FG 11 2， cosCFGCF 2FG2CG2 2CFFG 226 2 2 2 1 2，CFG 2 3 ，即异面直线 AE 与 PD 所成的角为 3 ，故选 C. 11(2021内蒙古包头模拟)如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 P 在线段 AD1上运动， 则异面直线 CP 与 BA1所成的角的取值范围是() A. 0， 2B. 0， 2 C. 0， 3D. 0， 3 答案D 解析当点 P 与点 D1重合时，CPBA
9、1，所成角为 0；当点 P 与 A 点重合时，CAA1C1， 连接 BC1，A1BC1为正三角形，所成角为 3 ，又由于异面直线所成角为 0， 2 ，所以选 D. 12在三棱锥 PABC 中，PBPCABACBC4，PA2 3，则异面直线 PC 与 AB 所成角的余弦值是() A.1 8 B.1 6 C.1 4 D.1 3 答案A 解析分别取 PA，PB，BC 的中点 E，F，G，连接 EF，EG，FG，GA，PG，如图所示， 由 PBPCABACBC4 可得 PGAG 3 2 BC2 3，所以 EGPA，在GPA 中， PGAGPA2 3，可得 EG3， 由中位线的性质可得 EFAB 且 E
10、F1 2AB2，FGPC 且 FG 1 2PC2， 所以GFE 或其补角即为异面直线 PC 与 AB 所成角， 在GFE 中，cosGFEGF 2EF2GE2 2GFEF 449 222 1 8， 所以异面直线 AB 与 PC 所成角的余弦值为1 8. 故选 A. 二、多项选择题 13(2021山东烟台二模)已知 m，n 为两条不同的直线，为两个不重合的平面，则 () A若 m，n，则 mn B若 m，n，则 mn C若 mn，m，n，则 D若 mn，n，则 m 答案BC 解析本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系若 m，n，则 m 和 n 平行、相交或异面，故 A 错误；若 m，n，由线面
11、、面面垂直的性质可知 mn，故 B 正确；若 mn，m，则 n，又 n，所以，故 C 正确；若 mn， n，则 m或 m，故 D 错误故选 BC. 14.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O 是 B1D1的中点，直线 A1C 交平面 AB1D1于 点 M，则下列结论正确是() AA，M，O 三点共线 BA，M，O，A1不共面 CA，M，C，O 不共面 DB，B1，O，M 不共面 答案AD 解析连接 A1C1，AC，则 A1C1AC， A1，C1，A，C 四点共面，A1C平面 ACC1A1， MA1C，M平面 ACC1A1，又 M平面 AB1D1， M 在平面 ACC1A1与平面 AB
12、1D1的交线上， 同理 O 也在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 A，M，O 三点共线 又 BB1与平面 AB1D1仅有 B1一个交点，所以 B 与 B1，O，M 不共面 15(2021广东茂名联考)一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个结 论，其中正确的是() AAFGC BBD 与 GC 为异面直线且夹角为 60 CBDMN DBG 与平面 ABCD 所成的角为 45 答案AB 解析 将平面展开图还原成正方体，如图所示 对于 A，由图形知 AF 与 GC 异面垂直，故 A 正确； 对于 B，BD 与 GC 显然成异面直线如图，连接 EB，ED，则 BMGC，所
13、以MBD 即为 异面直线 BD 与 GC 所成的角(或其补角)在等边BDM 中，MBD60，所以异面直线 BD 与 GC 所成的角为 60，故 B 正确； 对于 C，BD 与 MN 为异面垂直，故 C 错误； 对于 D，由题意得，GD平面 ABCD，所以GBD 是 BG 与平面 ABCD 所成的角但在 RtBDG 中，GBD 不等于 45，故 D 错误综上可得 A、B 正确 16.(2021江西莲塘一中、临川二中联考)如图，正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 1，P 为 BC 的中点，Q 为线段 CC1上的动点， 过点 A，P，Q 的平面截正方体所得的截面为 S，当 CQ1 时，S 的
14、 面积为_ 答案 6 2 解析 当 CQ1 时，Q 与 C1重合如图，取 A1D1，AD 的中点分别为 F，G.连接 AF，AP，PC1， C1F，PG，D1G，AC1，PF.F 为 A1D1的中点，P 为 BC 的中点，G 为 AD 的中点，AF FC1APPC1 5 2 ，PG 綊 CD，AF 綊 D1G.由题意易知 CD 綊 C1D1，PG 綊 C1D1，四 边形 C1D1GP 为平行四边形，PC1綊 D1G，PC1綊 AF，A，P，C1， F 四点共面，四边形 APC1F 为菱形AC1 3，PF 2，过点 A，P，Q 的平面截正方 体所得的截面 S 为菱形 APC1F， 其面积为 1
15、2AC 1PF1 2 3 2 6 2 . 17.如图所示，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与 ABCD 都是直 角梯形，BADFAB90，BCAD 且 BC1 2AD，BEAF 且 BE 1 2AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点 (1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2)C，D，F，E 四点是否共面？为什么？ 答案(1)略(2)共面，证明略 解析(1)证明：G，H 分别为 FA，FD 的中点， GH 綊 1 2AD.又BC 綊 1 2AD， GH 綊 BC.四边形 BCHG 为平行四边形 (2)C，D，F，E 四点共面理由如下： 由 BE 綊 1 2AF，G 是 FA 的中点，得 BE 綊 GF. 所以 EF 綊 BG. 由(1)知，BG 綊 CH，所以 EF 綊 CH.所以 ECFH. 所以 C，D，F，E 四点共面
