1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 7 讲 立体几何中的向量方法 (一 ) 证明平行与垂直 一、选择 题 1.若直线 l 的方向向量为 a (1， 0， 2)， 平面 的法向量为 n ( 2， 0， 4)， 则 ( ) A.l B.l C.l D.l 与 相交 解析 n 2a， a 与平面 的法向量平行 ， l . 答案 B 2.若 AB CD CE ， 则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.在平面内 D.平行或在平面内 解析 AB CD CE ， AB ， CD ， CE 共面 . 则 AB 与平面 CDE 的位置关系是平行或在平面内 . 答案 D 3
2、.已知平面 内有一点 M(1， 1， 2)， 平面 的一个法向量为 n (6， 3， 6)， 则下列点 P 中 ， 在平面 内的是 ( ) A.P(2， 3， 3) B.P( 2， 0， 1) C.P( 4， 4， 0) D.P(3， 3， 4) 解析 逐一验证法 ， 对于选项 A， MP (1， 4， 1)， MP n 6 12 6 0， MP n， 点 P 在平面 内 ， 同理可验证其他三个点不在平面 内 . 答案 A 4.(2017 西安月考 )如图 ， F 是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 CD 的中点 .E是 BB1上一点 ， 若 D1F DE， 则有 ( ) A.B1E E
3、B B.B1E 2EB C.B1E 12EB D.E 与 B 重合 解析 分别以 DA， DC， DD1为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 ， 设正方形的边长为 2， 则D(0， 0， 0)， F(0， 1， 0)， D1(0， 0， 2)， 设 E(2， 2， z)， D1F (0， 1， 2)， DE (2， 2，z)， D1F DE 02 12 2z 0， z 1， B1E EB. 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.如图所示 ， 在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中 ， 点 M， P， Q 分别为棱 AB，CD， BC 的中点 ， 若平行六面体的各棱长均相等 ，
4、 则： A1M D1P； A1M B1Q； A1M 平面 DCC1D1； A1M 平面 D1PQB1. 以上说法正确的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 A1M A1A AM A1A 12AB ， D1P D1D DP A1A 12AB ， A1M D1P ， 所以 A1M D1P， 由线面平行的判定定理可知 ， A1M 面 DCC1D1， A1M 面 D1PQB1. 正确 . 答案 C 二、填空题 6.(2017 武 汉调研 )已知平面 内的三点 A(0， 0， 1)， B(0， 1， 0)， C(1， 0， 0)， 平面 的一个法向量 n ( 1， 1， 1)， 则不重合
5、的两个平面 与 的位置关系是_. 解析 设平面 的法向量为 m (x， y， z)， 由 m AB 0， 得 x0 y z 0?y z， 由 m AC 0， 得 x z 0?x z， 取 x 1， m (1， 1， 1)， m n， m n， . 答案 7.(2017 西安调研 )已知 AB (1， 5， 2)， BC (3， 1， z)， 若 AB BC ， BP (x 1， y， 3)， 且 BP 平面 ABC， 则实数 x y _. 解析 由条件得?3 5 2z 0，x 1 5y 6 0，3（ x 1） y 3z 0，解得 x 407 ， y 157 ， z 4， x y 407 157
6、 257 . 答案 257 8.已知点 P 是平行四边形 ABCD 所在的平面外一点 ， 如果 AB (2， 1， 4)， AD (4， 2，0)， AP ( 1， 2， 1).对于结论： AP AB； AP AD； AP 是平面 ABCD 的法向量； AP BD .其中正确的序号是 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 AB AP 0， AD AP 0， AB AP， AD AP， 则 正确 .又 AB 与 AD 不平行 ， AP 是平面 ABCD 的法向量 ， 则 正确 . 由于 BD AD AB (2， 3， 4)， AP ( 1， 2， 1)， BD 与 AP 不平行 ， 故
7、错误 . 答案 三、解答题 9.如图 ， 四边形 ABCD 为正方形 ， PD 平面 ABCD， PD QA， QA AB 12PD.证明：平面 PQC平面 DCQ. 证明 如图 ， 以 D 为坐标原点 ， 线段 DA 的长为单位长 ， 射线 DA， DP， DC 分别为 x 轴 ， y轴 ， z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D xyz. 依题意有 Q(1， 1， 0)， C(0， 0， 1)， P(0， 2， 0)， 则 DQ (1， 1， 0)， DC (0， 0， 1)， PQ (1， 1， 0). PQ DQ 0， PQ DC 0. 即 PQ DQ， PQ DC， 又 DQ DC D
8、， PQ 平面 DCQ， 又 PQ 平面 PQC， 平面 PQC 平面 DCQ. 10.(2017 郑州调研 )如图所示 ， 四棱锥 P ABCD 的底面是边长为 1 的正方形 ， PA CD，PA 1， PD 2， E 为 PD 上一点 ， PE 2ED. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求证： PA 平面 ABCD； (2)在侧棱 PC 上是否存在一点 F， 使得 BF 平面 AEC？若存在 ， 指出 F 点的位置 ， 并证明；若不存在 ， 说 明理由 . (1)证明 PA AD 1， PD 2， PA2 AD2 PD2， 即 PA AD. 又 PA CD， AD CD D， PA
9、 平面 ABCD. (2)解 以 A 为原点 ， AB， AD， AP 所在直线分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴建立空间直角坐标系 . 则 A(0， 0， 0)， B(1， 0， 0)， C(1， 1， 0)， P(0， 0， 1)， E? ?0， 23， 13 ， AC (1， 1， 0)， AE ? ?0， 23， 13 .设平面 AEC 的法向量为 n (x， y， z)， 则?n AC 0，n AE 0，即?x y 0，2y z 0， 令 y 1， 则 n ( 1， 1， 2). 假设侧棱 PC 上存在一点 F， 且 CF CP (0 1) ， 使得 BF 平面 AEC， 则 B
10、F n 0. 又 BF BC CF (0， 1， 0) ( ， ， ) ( ， 1 ， )， BF n 1 2 0， 12， 存在点 F， 使得 BF 平面 AEC， 且 F 为 PC 的中点 . 11.如图 ， 正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直 ， AB 2， AF 1，M 在 EF 上 ， 且 AM 平面 BDE.则 M 点的坐标为 ( ) A.(1， 1， 1) B.? ?23 ， 23 ， 1 C.? ?22 ， 22 ， 1 D.? ?24 ， 24 ， 1 解析 设 AC 与 BD 相交于 O 点 ， 连接 OE， 由 AM 平面 BDE， 且 AM 平面 AC
11、EF， 平面 ACEF 平面 BDE OE， AM EO， 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = M 为线段 EF 的中点 . 在空间坐标系中 ， E(0， 0， 1)， F( 2， 2， 1). 由中点坐标公式 ， 知点 M 的坐标 ? ?22 ， 22 ， 1 . 答案 C 12.(2017 合肥 调研 )如图所示 ， 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， 棱长为 a，M， N 分别为 A1B 和 AC 上的点 ， A1M AN 2a3 ， 则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是 ( ) A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 解析
12、分别以 C1B1， C1D1， C1C 所在直线为 x， y， z 轴 ， 建立空间直角坐标系 ， 如图 ， A1M AN 23 a， 则 M? ?a， 23a， a3 ， N? ?2a3 ， 2a3 ， a ， MN ? ? a3， 0， 23a . 又 C1(0， 0， 0)， D1(0， a， 0)， C1D1 (0， a， 0)， MN C1D1 0， MN C1D1 . C1D1 是平面 BB1C1C 的法向量 ， 且 MN?平面 BB1C1C， MN 平面 BB1C1C. 答案 B 13.如图 ， 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长 为 1， E， F 分别是棱 BC， DD
13、1上的点 ， 如果 B1E 平面 ABF， 则 CE 与 DF 的和的值为 _. 解析 以 D1A1， D1C1， D1D 分别为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系 ，设 CE x， DF y， 则易知 E(x， 1， 1)， B1(1， 1， 0)， F(0， 0， 1 y)， B(1， 1， 1)， B1E (x 1， 0， 1)， FB (1， 1， y)， 由于 B1E 平面 ABF， 所以 FB B1E (1， 1， y)( x 1， 0， 1) 0?x y 1. 答案 1 14.(2014 湖北卷改编 )如图 ， 在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1中 ， E，
14、F， M， N 分别是棱 AB， AD， A1B1， A1D1的中点 ， 点 P， Q 分别在棱 DD1， BB1上移动 ， 且 DP BQ (0 2). =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)当 1 时 ， 证明：直线 BC1 平面 EFPQ； (2)是否存在 ， 使平面 EFPQ 平面 PQMN？若存在 ， 求出实数 的值；若不存在 ， 说明理由 . (1)证明 以 D 为坐标原点 ， 建立如图所示的空间直角坐标系 .由已知得 B(2， 2， 0)， C1(0，2， 2)， E(2， 1， 0)， F(1， 0， 0)， P(0， 0， )， M(2， 1， 2)， N(1， 0， 2)
15、， BC1 ( 2，0， 2)， FP ( 1， 0， )， FE (1， 1， 0)， MN ( 1， 1，0)， NP ( 1， 0， 2). 当 1 时 ， FP ( 1， 0， 1)， 因为 BC1 ( 2， 0， 2)， 所以 BC1 2FP ， 即 BC1 FP. 而 FP 平面 EFPQ， 且 BC1?平面 EFPQ， 故直线 BC1 平面 EFPQ. (2)解 设平面 EFPQ 的一个法向量为 n (x， y， z)， 则由?FE n 0，FP n 0，可得?x y 0， x z 0.于是可取 n ( ， ， 1). 同理可得平面 PQMN 的一个法向量为 m ( 2， 2 ， 1). 则 m n ( 2， 2 ， 1)( ， ， 1) 0， 即 ( 2) (2 ) 1 0， 解得 1 22 . 故存在 1 22 ， 使平面 EFPQ 平面 PQMN.
