1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十单元 空间几何体 教材复习课 “ 空间几何体 ” 相关基础知识一课过 空间几何体的结构特征 过双基 1 简单旋转体的结构特征 (1)圆柱可以由 矩形 绕其任一边旋转得到； (2)圆锥可以由直角三角形绕其 直角边 旋转得到； (3)圆台可以由直角梯形绕 直角腰 或等腰梯形绕 上下底中点连线 旋转得到，也可由 平行于圆锥底面 的平面截圆锥得到； (4)球可以由半圆或圆绕 直径 旋转得到 2简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都 平行且相等 ，上下底面是 全等 的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 公共点 的三角 形； (3)棱台可由 平行于
2、棱锥底面 的平面截棱锥得到，其上下底面是 相似 多边形 小题速通 1关于空间几何体的结构特征，下列说法中不正确的是 ( ) A棱柱的侧棱长都相等 B棱锥的侧棱长都相等 C三棱台的上、下底面是相似三角形 D有的棱台的侧棱长都相等 解析：选 B 根据棱锥的结构特征知，棱锥的侧棱长不一定都相等 2下列说法中正确的是 ( ) A各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥 D圆锥的顶点与底面圆周上的任一点的连线都是母线 解析：选 D 当一个几何体由具有相同的底面且顶点在底面两
3、侧的两个三棱锥构成时，尽管各面都是三角形，但它不是三棱锥，故 A 错误；若三角形不是直角三角形或是直角三角形但旋转轴不是直角边所在直线，所得几何体就不是圆锥，故 B 错误；若六棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边形，由几何图形知，若以正六边形为底面，则棱长必然要大于底面边长，故 C 错误选 D. =【 ;精品教育资源文库 】 = 清易错 1认识棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的 结构特征时，易忽视定义，可借助于几何模型强化对空间几何体的结构特征的认识 2台体可以看成是由锥体截得的，但一定强调截面与底面平行 1已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 E， F 分别是棱 D1C
4、1， B1C1的中点，过 E， F作一平面 ，使得平面 平面 AB1D1，则平面 截正方体的表面所得平面图形为 ( ) A三角形 B四边形 C五边形 D六边形 解析：选 D 如图所示，平面 是平面 EFGHJK，截面是六边形，故选 D. 2下列几何体是棱台的是 _(填 序号 ) 解析： 都不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故 不满足题意 中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故 不满足题意 符合棱台的定义，故填 . 答案： 直观图与三视图 过双基 1 直观图 (1)画法：常用 斜二测画法 (2)规则： 原图形中 x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中， x 轴、 y 轴的夹角为 45
5、( 或 135) ，z 轴与 x 轴和 y 轴所在平面 垂直 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍 平行于坐标轴 平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度 不变 ，平行于 y 轴的线段 长度在直观图中变为原来的 一半 2三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、正上 方观察几何体画出的轮廓线 提醒 正视图也称主视图，侧视图也称左视图 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)三视图的画法 基本要求： 长对正 ， 高平齐 ， 宽相等 画法规则： 正侧 一样高， 正俯 一样长， 侧俯 一样宽；看不到的线画 虚 线 小题速通 1用一个平
6、行于水平面的平面去截球，得到如图所示的几何体，则它的俯视图是 ( ) 解析：选 B D 选项为正视图或侧视图，俯视图中 显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选 B. 2如图所示，等腰 A B C 是 ABC 的直观图，那么 ABC 是 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D钝角三角形 解析：选 B 由题图知 A C y 轴， A B x 轴，由斜二测画法知，在 ABC 中，AC y 轴， AB x 轴， AC AB.又因为 A C A B ， AC 2AB AB， ABC 是直角三角形 3现有编号为 的三个三棱锥 (底面水平放置 )，俯视图分别为图 1、图 2、图 3，
7、则至少存在一个侧面与此底面互相垂 直的三棱锥的编号是 ( ) A B C D 解析：选 B 还原出空间几何体，编号为 的三棱锥的直观图如图 (1)三棱锥 PABC 所示，平面 PAC 平面 ABC，平面 PBC 平面 ABC，满足题意；编号为 的三棱锥的直观图如图(2)三棱锥 PABC 所示，平面 PBC 平面 ABC，满足题意；编号为 的三棱锥的直观图如图 (3)三棱锥 PABC 所示，不存在侧面与底面互相垂直，即满足题意的编号是 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 4某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱长为 ( ) A. 5 B 2 2 C 3 D 3 2 解析：选 C 依题意，
8、可知该几何体为如图所示三棱锥 DABC，最长的棱 AD1 2 2 3，故选 C. 清易错 1画三视图时，能看见的线和棱用实线表示，不能看见的线和棱用虚线表示 2一物体放置的位置不同，所画的三视图可能不同 1.沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为 ( ) 解析：选 B 给几何体的各顶点标上字母，如图 1.A， E 在侧投影面上的投影重合， C，G 在 侧投影面上的投影重合，几何体在侧投影面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图 2所示，故正确选项为 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2已知以下三视图中有三个表示同一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图的是 ( )
9、解析：选 D 对于选项 A，相应的几何体是如图所示的三棱锥 ABCD，其中 AB 平面 BCD，且 BC BD， AB 3， BC 1， BD 2；对于选项 B，相应的几何体可视为将选项 A 中的几何体按逆时针方向旋转 90 而得到的几何体；对于选项 C，相应的几何体可视为将选项 A中的几何体按逆时针方向旋转 180 而得到的几何体综上所述，选 D. 空间几何体的表面积与体积 过双基 空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱体 (棱柱和圆柱 ) S 表面积 S 侧 2S 底 V Sh 锥体 (棱锥和圆锥 ) S 表面积 S 侧 S 底 V 13Sh 台体 (棱台和圆台 )
10、S 表面积 S 侧 S 上 S 下 V 13(S 上 S 下 S上 S下 )h 球 S 4 R2 V 43 R3 小题速通 1已知某几何体的三视图的侧视图是一个正 三角形，如图所示，则该几何体的体积等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 12 3 B 16 3 C 20 3 D 32 3 解析：选 C 由三视图画出该几何体的直观图如图所示， V 棱柱 1242 33 12 3， V 棱锥 134(6 3)2 3 8 3，所以组合体的体积 V V 棱柱 V 棱锥 20 3. 2 (2017 浙江高考 )某几 何体的三视图如图所示 (单位： cm)，则该几何体的体积 (单位：cm3)是
11、 ( ) A. 2 1 B. 2 3 C.32 1 D.32 3 解析：选 A 由几何体的三视图可得，该几何体是一个底面半径为 1，高为 3 的圆锥的一半与一个底面为直角边长为 2的等腰直角三角形，高为 3 的三棱锥的组合体，故该几何体的体积 V 13 121 23 13 12 2 23 2 1. 3若圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，则其母线与轴所成角的大小是 _ 解析：设圆锥的母线与轴所成角为 ，由题意得 Rl 2 R2，即 l 2R，所以 sin Rl 12，即 6.即母线与轴所成角的大小是 6 . 答案： 6 4如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为 _ =【 ;精品教育资源文库
12、】 = 解析：由 三视图可知该几何体左侧是一个半圆柱，底面半径为 1，高为 2；右侧是一个棱长为 2 的正方体，则该几何体的表面积为 S 52 2 12 1 2 20 3. 答案： 20 3 清易错 1由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误 2求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错 3易混侧面积与表面积的概念 1九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “ 今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？ ” 其意思为： “ 今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈，上棱长
13、 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？ ”已知 1 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中图中小正方体的边长为 1 丈，则该楔体的体积为 ( ) A 10 000 立方尺 B 11 000 立方尺 C 12 000 立方尺 D 13 000 立方尺 解析：选 A 该楔形的直观图如图中的几何体 ABCDEF 所示，取AB 的中点 G， CD 的中点 H，连接 FG， GH， HF，则该几何体可看作四棱锥 FBCHG 与三棱柱 ADEGHF 的组合体三棱柱 ADEGHF 可以 通过割补法得到一个高为 EF 2，底面积为 S 1232 3 的一个直棱柱，故该楔形的体积 V 32 13232 10(立方丈 ) 10 000(立方尺 ) 2如图是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等腰梯形，则该几何体的侧面积是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 6 B 12 C 18 D 24 解析：选 B 由三视图可得该几何体的直观图为圆台，其上底半径为 2，下底半径为 1，母线长为 4，所以该几何体的侧面积为 (2 1)4 12. 3
