1、基本不等式基本不等式 一.基本不等式：abab 2 (1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号. (3)其中ab 2 称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数. 二几个重要的不等式 (1)a 2b22ab(a，bR) (2)b a a b2(a，b 同号) (3)ab ab 2 2 (a，bR) (4)a 2b2 2 ab 2 2(a，bR) 以上不等式等号成立的条件均为ab. 三算术平均数与几何平均数 设a0，b0，则a，b的算术平均数为ab 2 ，几何平均数为ab，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数 四
2、利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值 2p.(简记：积定和最小) (2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值p 2 4 .(简记：和定积最大) 考向一直接法 【例 1】 （1）若x0，则x2 x的最小值是( ) A2B4C. 2D2 2 （2）.设x0，y0，且xy18，则xy的最大值为() A.80B.77C.81D.82 【答案】 （1）D（2）C 【解析】（1） 由基本不等式可得x2 x2 x2 x2 2， 当且仅当 x2 x即 x 2时取等号， 故最小值是 2 2. 故选 D. （2）xy xy 2 2
3、 81，当且仅当xy9 时取等号.答案C 【套路总结】【套路总结】 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词：一正、二定、三相等，即 一正：各项必须为正； 二定：各项之和或各项之积为定值； 三相等：必须验证取等号时条件是否具备 考向二 配凑法 【例 2-1】（1）设 01)的最小值为_ 【答案】2 32 【解析】x1，x10，yx 22 x1 x 22x12x23 x1 x1 22x13 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当x1 3 x1，即 x 31 时，等号成立 【套路总结】【套路总结】 此类问题一般不能直接使用基本不等式， 要从整体上把握进而运用基本不等式， 对不满足使用基本不等式
4、 条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项、凑项、凑系数等 考向三 常数替代法 【例 3】 （1）已知x0，y0，且1 x 2 y1，则 xy的最小值为_ (2)已知正数x，y满足xy1，则 4 x2 1 y1的最小值为_ 【答案】 （1）32 2（2）9 4 【解析】 （1）由x0，y0，得(xy) 1 x 2 y3y x 2x y 32 2， 当且仅当y 2x时等号成立，又1 x 2 y1，则 xy32 2，所以xy的最小值为 32 2. （2）正数x，y满足(x2)(y1)4， 4 x2 1 y1 1 4(x2)(y1) 4 x2 1 y1 1 4 5x2 y1 4y1 x21
5、 4 52 x2 y1 4y1 x29 4， 当且仅当x2y2 3时， 4 x2 1 y1 min9 4. 【套路总结】【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式 求解 考向四基本不等式积(ab)与和(ab)的转化 【例 4】正数a，b满足abab3，则ab的取值范围是_. 【答案】9，) 【解析】a，b是正数，abab32ab3，解得ab3，即ab9. 拓展：本例已知条件不变，求ab的最小值. 【答案】见解析 【解析】a0，b0，ab ab 2 2 ， 即ab3 ab 2 2 ，整理得(ab) 24(ab)120， 解得ab6
6、 或ab2(舍).故ab的最小值为 6. 考向五 消元法 【例 5】已知正实数a，b满足a 2b40，则 u2a3b ab 的最小值为_ 【答案】 14 5 【解析】a 2b40，ba24，aba2a4. 又a，b0， a ab a a 2a4， a ab a a 2a4， u2a3b ab 3 a ab3 a a 2a43 1 a4 a1 3 1 2a4 a1 14 5 ， 考向六实际运用 【例 6】某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，当年产量不足 80 千件时，C(x)1 3x 210x(万元)当年产量不小于 80 千件时，C(x)51x10
7、000 x 1 450(万元)每件 商品售价为 0.05 万元通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 【答案】见解析 【解析】 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元， 则x千件商品销售额为 0.051 000x万元， 依题意得当 0x80 时，L(x)1 000x0.05 1 3x 210x 2501 3x 240x250； 当x80 时，L(x)1 000x0.05 51x10 000 x 1 450 2501 200 x10 000 x. L(x) 1
8、3x 240x250，0x80， 1 200 x10 000 x，x80. (2)当 0x80 时，L(x)1 3(x60) 2950. 对称轴为x60，即当x60 时，L(x)max950 万元； 当x80 时，L(x)1 200 x10 000 x1 2002 10 0001 000(万元)， 当且仅当x100 时，L(x)max1 000 万元， 综上所述，当年产量为 100 千件时，年获利润最大 考向七不等式与其他知识综合 【例 7】 （1）已知m，n为正实数，向量a(m,1)，b(1n,1)，若ab，则1 m 2 n的最小值为_ （2）已知x，y满足约束条件 xy0， x2y0， 2
9、xy20， 且目标函数zaxby(a，b0)的最大值为 4，则4 a 2 b的 最小值为_ 【答案】 （1）32 2（2）32 2 【解析】 （1）ab，m(1n)0，即mn1，又m，n为正实数，1 m 2 n 1 m 2 n(mn)n m 2m n 32 n m 2m n 332 2，当且仅当 n m 2m n ， mn1， 即 m 21， n2 2 时，取等号. （2）画区域如图，易知目标函数在点A处取得最大值，由 xy0， 2xy20， 解得 x2， y2， 所以 2a2b4，即ab2， 所以4 a 2 b 2ab a ab b 22b a a b13 2b a a b32 2b a a b32 2， 当且仅当2b a a b，即 a42 2， b2 22 时，取等号故4 a 2 b的最小值为 32 2.
