基本不等式.pdf

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资源描述

1、基本不等式基本不等式 一.基本不等式:abab 2 (1)基本不等式成立的条件:a0,b0. (2)等号成立的条件:当且仅当ab时取等号. (3)其中ab 2 称为正数a,b的算术平均数,ab称为正数a,b的几何平均数. 二几个重要的不等式 (1)a 2b22ab(a,bR) (2)b a a b2(a,b 同号) (3)ab ab 2 2 (a,bR) (4)a 2b2 2 ab 2 2(a,bR) 以上不等式等号成立的条件均为ab. 三算术平均数与几何平均数 设a0,b0,则a,b的算术平均数为ab 2 ,几何平均数为ab,基本不等式可叙述为两个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数 四

2、利用基本不等式求最值问题 已知x0,y0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最小值 2p.(简记:积定和最小) (2)如果和xy是定值p,那么当且仅当xy时,xy有最大值p 2 4 .(简记:和定积最大) 考向一直接法 【例 1】 (1)若x0,则x2 x的最小值是( ) A2B4C. 2D2 2 (2).设x0,y0,且xy18,则xy的最大值为() A.80B.77C.81D.82 【答案】 (1)D(2)C 【解析】(1) 由基本不等式可得x2 x2 x2 x2 2, 当且仅当 x2 x即 x 2时取等号, 故最小值是 2 2. 故选 D. (2)xy xy 2 2

3、 81,当且仅当xy9 时取等号.答案C 【套路总结】【套路总结】 利用基本不等式求最值要牢记三个关键词:一正、二定、三相等,即 一正:各项必须为正; 二定:各项之和或各项之积为定值; 三相等:必须验证取等号时条件是否具备 考向二 配凑法 【例 2-1】(1)设 01)的最小值为_ 【答案】2 32 【解析】x1,x10,yx 22 x1 x 22x12x23 x1 x1 22x13 x1 (x1) 3 x122 32. 当且仅当x1 3 x1,即 x 31 时,等号成立 【套路总结】【套路总结】 此类问题一般不能直接使用基本不等式, 要从整体上把握进而运用基本不等式, 对不满足使用基本不等式

4、 条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项、凑项、凑系数等 考向三 常数替代法 【例 3】 (1)已知x0,y0,且1 x 2 y1,则 xy的最小值为_ (2)已知正数x,y满足xy1,则 4 x2 1 y1的最小值为_ 【答案】 (1)32 2(2)9 4 【解析】 (1)由x0,y0,得(xy) 1 x 2 y3y x 2x y 32 2, 当且仅当y 2x时等号成立,又1 x 2 y1,则 xy32 2,所以xy的最小值为 32 2. (2)正数x,y满足(x2)(y1)4, 4 x2 1 y1 1 4(x2)(y1) 4 x2 1 y1 1 4 5x2 y1 4y1 x21

5、 4 52 x2 y1 4y1 x29 4, 当且仅当x2y2 3时, 4 x2 1 y1 min9 4. 【套路总结】【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时,通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换,或构造不等式 求解 考向四基本不等式积(ab)与和(ab)的转化 【例 4】正数a,b满足abab3,则ab的取值范围是_. 【答案】9,) 【解析】a,b是正数,abab32ab3,解得ab3,即ab9. 拓展:本例已知条件不变,求ab的最小值. 【答案】见解析 【解析】a0,b0,ab ab 2 2 , 即ab3 ab 2 2 ,整理得(ab) 24(ab)120, 解得ab6

6、 或ab2(舍).故ab的最小值为 6. 考向五 消元法 【例 5】已知正实数a,b满足a 2b40,则 u2a3b ab 的最小值为_ 【答案】 14 5 【解析】a 2b40,ba24,aba2a4. 又a,b0, a ab a a 2a4, a ab a a 2a4, u2a3b ab 3 a ab3 a a 2a43 1 a4 a1 3 1 2a4 a1 14 5 , 考向六实际运用 【例 6】某工厂某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产x千件,需另投入成本为C(x),当年产量不足 80 千件时,C(x)1 3x 210x(万元)当年产量不小于 80 千件时,C(x)51x10

7、000 x 1 450(万元)每件 商品售价为 0.05 万元通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完 (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式; (2)当年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大? 【答案】见解析 【解析】 (1)因为每件商品售价为 0.05 万元, 则x千件商品销售额为 0.051 000x万元, 依题意得当 0x80 时,L(x)1 000x0.05 1 3x 210x 2501 3x 240x250; 当x80 时,L(x)1 000x0.05 51x10 000 x 1 450 2501 200 x10 000 x. L(x) 1

8、3x 240x250,0x80, 1 200 x10 000 x,x80. (2)当 0x80 时,L(x)1 3(x60) 2950. 对称轴为x60,即当x60 时,L(x)max950 万元; 当x80 时,L(x)1 200 x10 000 x1 2002 10 0001 000(万元), 当且仅当x100 时,L(x)max1 000 万元, 综上所述,当年产量为 100 千件时,年获利润最大 考向七不等式与其他知识综合 【例 7】 (1)已知m,n为正实数,向量a(m,1),b(1n,1),若ab,则1 m 2 n的最小值为_ (2)已知x,y满足约束条件 xy0, x2y0, 2

9、xy20, 且目标函数zaxby(a,b0)的最大值为 4,则4 a 2 b的 最小值为_ 【答案】 (1)32 2(2)32 2 【解析】 (1)ab,m(1n)0,即mn1,又m,n为正实数,1 m 2 n 1 m 2 n(mn)n m 2m n 32 n m 2m n 332 2,当且仅当 n m 2m n , mn1, 即 m 21, n2 2 时,取等号. (2)画区域如图,易知目标函数在点A处取得最大值,由 xy0, 2xy20, 解得 x2, y2, 所以 2a2b4,即ab2, 所以4 a 2 b 2ab a ab b 22b a a b13 2b a a b32 2b a a b32 2, 当且仅当2b a a b,即 a42 2, b2 22 时,取等号故4 a 2 b的最小值为 32 2.

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