1、2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第四章-4最新考纲以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.考情考向分析1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的 实际问题.基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实1.正弦定理、余弦定理知识梳理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(
2、2)a2 ；b2 ；c2_b2c22bccos Ac2a22cacos Ba2b22abcos C变形(3)a2Rsin A，b ，c ；(5)abc ；(6)asin Bbsin A，bsin Ccsin B，asin Ccsin A(7)cos A ；cos B ；cos C_sin Asin Bsin C2Rsin B2Rsin C2.三角形常用面积公式3.测量中的有关几个术语术语名称术语意义仰角与俯角在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方
3、位角.方位角的范围是0能否推出sin sin？在ABC中，AB是否可推出sin Asin B?概念方法微思考提示第一象限的角不能推出sin sin.在ABC中，由AB可推出sin Asin B.2.在ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.提示图形 关系式absin Absin Aa0时，ABC为锐角三角形.()(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.()基础自测题组一思考辨析题组二教材改编2.在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_ .等腰三角形或直角三角形解析由正弦定理，得sin Acos Asin B
4、cos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.3.在ABC中，A60，AC4，BC2 ，则ABC的面积为 .4.已知ABC的三边之比为357，则其最大的内角为 .解析由三边之比为abc357，可设a3k，b5k，c7k(k0)，C为最大内角，题组三易错自纠5.在ABC中，已知b40，c20，C60，则此三角形的解的情况是A.有一解 B.有两解C.无解 D.有解但解的个数不确定角B不存在，即满足条件的三角形不存在.6.设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则C .解析由3sin A5si
5、n B及正弦定理，得3a5b.典题深度剖析重点多维探究题型突破利用正弦、余弦定理解三角形题型一师生共研75解析如图，由正弦定理，又cb，B45，A180604575.(2)如图所示，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2AB BD，BC2BD，则sin C的值为 .(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.思维升华在ABC中，
6、由余弦定理，得AB2AC2BC22ACBCcos C1正弦定理、余弦定理的应用题型二多维探究命题点1判断三角形的形状例2(1)在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcos C，则此三角形一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形因此a2a2b2c2，得b2c2，于是bc，从而ABC为等腰三角形.方法二由正弦定理可得sin A2sin Bcos C，因此sin(BC)2sin Bcos C，即sin Bcos Ccos Bsin C2sin Bcos C，于是sin(BC)0，因此BC0，即BC，故ABC为等腰三角形.(2)设ABC的内角A
7、，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定解析由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，本例(1)中，若将条件变为abcos C，判断ABC的形状.引申探究1解abcos C，sin Asin Bcos C，sin(BC)sin Bcos C，cos Bsin C0，sin C0，cos B0.ABC为直角三角形.本例(2)中，若将条件变为a2b2c2ab，
8、且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状.引申探究2又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形.命题点2三角形面积的计算例3(2020四川联合诊断考试)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)cos B ，且B为锐角.(1)求B；又ABC，因为B为锐角，所以2B(0，)，(2)若b1，求ABC面积的最大值.因为a2c22ac，命题点3求解平面图形问题(1)AE的长；AE1.解BEBC，BCEBEC，sinBCEsinBECsinAEC，(1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.(2
9、)判断三角形形状的方法化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用ABC这个结论.(3)求解几何计算问题要注意根据已知的边角画出图形并在图中标示.选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.思维升华跟踪训练2(1)在ABC中，(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形2a2a2c2b2，a2b2c2，ABC为直角三角形.(2)(2018全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为 ，则C等于sin Ccos C，即tan C1.(3)
10、(2020贵阳一中适应性考试)如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，ABAC，AB解在RtABC中，ACABtanABC2.所以CAD60，所以ADACcosCAD1.在ABD中，由余弦定理得BD2AB2AD22ABADcosBAD19，若AC2，ADB30，求sinCAD的值.解设CAD，则ABD60，AD2cos，一、测量距离问题解三角形应用举例核心素养之数学抽象例1(1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD km，ADBCDB30，ACD60，ACB45，则A，B两点间的距离为 km.解析ADCADBCDB
11、60，ACD60，在BCD中，DBC180CDBACDACB45，在ABC中，由余弦定理，(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得PAB90，PAQPBAPBQ60，则P，Q两点间的距离为 m.900解析由已知，得QABPABPAQ30.又PBAPBQ60，AQB30，ABBQ.又PB为公共边，PABPQB，PQPA.在RtPAB中，APABtan 60900(m)，故PQ900 m，P，Q两点间的距离为900 m.二、测量高度问题例2如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从
12、A，B两点分别测得树尖的仰角为30，45，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.解析在PAB中，PAB30，APB15，AB60 m，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30三、测量角度问题例3已知岛A南偏西38方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？解如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC0.5x，AC5，BAC1803822120.由余弦定理可得BC2A
13、B2AC22ABACcos 120，所以BC249，所以BC0.5x7，解得x14.所以ABC38，又BAD38，所以BCAD，故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.素养提升数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.课 时 精 练基础保分练123456789 1011121314
14、15 161.在ABC中，若AB ，BC3，C120，则AC等于A.1 B.2 C.3 D.4解析设在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理得139b23b，解得b1或b4(舍去)，即AC1.123456789 101112131415 16ba，B60或120.123456789 101112131415 16解析由cos 2Asin A，得12sin2Asin A，3.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2Asin A，bc2，则ABC的面积为123456789 101112131415 164.ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bc
15、，a22b2(1sin A)，则A等于解析由余弦定理得a2b2c22bccos A2b22b2cos A，所以2b2(1sin A)2b2(1cos A)，所以sin Acos A，即tan A1，又0A0)，则c3k.6.(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A 等于A.6 B.5 C.4 D.3解析asin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.123456789 101112131415 1647.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2，cos C3sin A
16、2sin B，则c .解析由3sin A2sin B及正弦定理，得3a2b，123456789 101112131415 16123456789 101112131415 168.(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B ，则ABC的面积为 .123456789 101112131415 16所以由余弦定理b2a2c22accos B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，123456789 101112131415 16123456789 101112131415 169.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得
17、M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75，从C点测得MCA60，已知山高BC100 m，则山高MN m.150123456789 101112131415 16故MN150，即山高MN为150 m.123456789 101112131415 16(2，)a2c2b22accos B.123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16123456789 101112131415 1611.(2019全国)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.(1)求A；解由已知
18、得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc，因为0A180，所以A60.解由(1)知B120C，故sin Csin(C6060)123456789 101112131415 16(1)求角A；123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16(2)求AC边上的高.解在ABC中，技能提升练123456789 101112131415 16A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形123456789 101112131415 16同理可得BC.ABC的形状为等边三角形.故选A.1234
19、56789 101112131415 1614.在ABC中，角A，B，C的对边a，b，c成等差数列，且AC90，则cos B_.解析a，b，c成等差数列，2bac.2sin Bsin Asin C.AC90，2sin Bsin(90C)sin C.2sin Bcos Csin C.123456789 101112131415 16拓展冲刺练123456789 101112131415 16由余弦定理得3b2a2abab(当且仅当ab时取等号)，16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c,2bcos Cc2a.(1)求B的大小；解2bcos Cc2a，123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16解由(1)可得b2a2c2acc23c9.由得2c2b21.由得c23c100，解得c5或c2(舍去)，c5.大一轮复习讲义4.6解三角形
