1、13.3 13.3 等腰三角形等腰三角形第第1313章章 全等三角形全等三角形13.3.1 13.3.1 等腰三角形的性质等腰三角形的性质知识点知识点等腰三角形的定义等腰三角形的定义知知1 1讲讲11.定义定义 有有两两条边相等条边相等的三角形叫做等腰三角形的三角形叫做等腰三角形.几何语言：如图几何语言：如图13.3-1，在，在ABC中中，ABAC，ABC为为等腰三角形等腰三角形.2.相关相关概念概念 等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角角叫做叫做底角底角.知知1
2、1讲讲特别提醒特别提醒1.确定等腰三角形的确定等腰三角形的两条两条腰时，应找腰时，应找三角形中三角形中相等的两边，相等的两边，腰腰与三角形与三角形本身的本身的位置无关位置无关.2.等腰三角形的顶角等腰三角形的顶角可以可以是锐角、直角或是锐角、直角或钝角钝角，但底角只但底角只能是锐角能是锐角.知知1 1练练例 1若某个等腰三角形的两边长分别为若某个等腰三角形的两边长分别为4和和6，求这个等腰，求这个等腰三角形的周长三角形的周长.解题秘方：解题秘方：根据等腰三角形的定义确定腰和底边的根据等腰三角形的定义确定腰和底边的长，再长，再利用利用三角形三边关系进行判断并计算三角形三边关系进行判断并计算.知知
3、1 1练练解：解：等腰三角形的底边长和腰长不确定等腰三角形的底边长和腰长不确定，需分两种情况讨论需分两种情况讨论.当当4为为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，4，6，446，满足三角形的三边关系，满足三角形的三边关系，周长周长44614；当当6为为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为腰长时，该等腰三角形的三边长分别为4，6，6，466，满足三角形的三边关系，满足三角形的三边关系，周长周长66416.综上可知，这个等腰三角形的周长为综上可知，这个等腰三角形的周长为14或或16.知知1 1练练特别提醒：特别提醒：等腰三角形的边分腰和底边，若没有等腰三角形的边分腰
4、和底边，若没有说明，则说明，则必须必须分类讨论，同时注意三角形的三边分类讨论，同时注意三角形的三边关系关系.知知1 1练练1-1.中考中考河北河北 四边形四边形ABCD的的边长如图边长如图所示所示，对角线，对角线AC的的长度长度随四边形随四边形形状的改变而形状的改变而变化变化当当ABC为等腰为等腰三角形三角形时，对角线时，对角线AC的长为的长为()A.2 B.3C.4 D.5B知知2 2讲讲知识点知识点正方形的性质正方形的性质21.性质性质1 等腰三角形等腰三角形的的两底角相等两底角相等.(简写简写成成“等边对等角等边对等角”)几何语言：如图几何语言：如图13.3-2，在，在ABC中中，ABA
5、C，BC.知知2 2讲讲特别提醒特别提醒适用适用条件条件：必须在：必须在同一同一个三角形中个三角形中.“等边对等角等边对等角”是是证明证明角相等的常用方法角相等的常用方法，应用，应用它证角它证角相等时相等时可省去可省去三角形全等的三角形全等的证明证明，因而更简便，因而更简便.知知2 2讲讲2.性质性质2 等腰三角形等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合互相重合.(简称简称“三线合一三线合一”)特别提醒特别提醒适用适用条件条件：1.必须是等腰三角形必须是等腰三角形；2.必须是底边上的必须是底边上的中线中线、底边上的高和、底边上的高和顶角顶角的平分线才的平分
6、线才互相重合互相重合.作用作用：是证明线段：是证明线段相等相等、角相等、线段、角相等、线段互相垂直的互相垂直的重重要依据要依据.知知2 2讲讲几何语言：如图几何语言：如图13.3-2，在，在ABC中中，(1)ABAC，ADBC于于点点D，AD平分平分BAC(或或BDCD)；(2)ABAC，BDDC，ADBC(或或AD平分平分BAC)；(3)ABAC，AD平分平分BAC，BDDC(或或ADBC)知知2 2讲讲3.对称性对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线角平分线(或或底底边边上的上的高、底边上的高、底边上的中线中线)所在所在的直线的直线是它的对称轴是它的对称轴知知
7、2 2练练如图如图13.3-3，在，在ABC中中，ABAC，AD平分平分BAC.例 2解题秘方解题秘方：紧扣等腰三角紧扣等腰三角形的性质进行解答形的性质进行解答.知知2 2练练(1)求求ADB的的度数；度数；(2)若若BAC100，求，求B，C的的度数度数；解解：ABAC，AD平分平分BAC，ADBC.ADB90.知知2 2练练(3)若若BC3 cm，求，求BD的的长长.知知2 2练练2-1.中考中考益阳益阳 如图如图，ABCD，直线直线MN与与AB，CD分别分别交交于点于点E，F，CD上有上有一点一点G且且GEGF，1122.求求2的度数的度数知知2 2练练解：解：ABCD，1122，DFE
8、1122，EFG180DFE58.GEGF，FEGEFG58，2180FEGEFG64.知知2 2练练如图如图13.3-4，已知，已知ABAC，ADAE.求证求证：BDCE.解题秘方解题秘方：证明证明线段相等，可线段相等，可证明其所在的三角形全等；证明其所在的三角形全等；条条件件中出现两个等腰三角形，也中出现两个等腰三角形，也可利用等腰三角形的性质证明可利用等腰三角形的性质证明.例 3知知2 2练练证明：方法一证明：方法一 ABAC，ADAE，BC，ADEAED.BADCAE.ABD ACE(A.S.A.).BDCE.方法二方法二 如图如图13.3-4，过点，过点A作作AFDE，垂足垂足为为F
9、.ADAE，DFEF.又又 ABAC，BFCF.BFDFCFEF，即，即BDCE.知知2 2练练3-1.中考中考淄博淄博如图如图，ABC是是等腰三角形等腰三角形，点，点D，E分别分别在腰在腰AC，AB上上，且，且BECD，连结连结BD，CE求证：求证：BDCE知知2 2练练知知3 3讲讲知识点知识点等边三角形的定义及性质等边三角形的定义及性质31.定义定义 三三条边都相等的三角形是等边三角形条边都相等的三角形是等边三角形.2.性质性质 (1)等边三角形等边三角形的三条边都相等的三条边都相等.(2)等边三角形等边三角形的的各个角都相等各个角都相等，并且每一个角都等于，并且每一个角都等于60.(3
10、)等边三角形等边三角形是轴对称图形，它有是轴对称图形，它有3 条对称轴，分别为三条对称轴，分别为三边的边的垂直平分线垂直平分线.(4)各各边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等边上的高、中线、对应的角平分线重合，且长度相等.知知3 3讲讲特别提醒特别提醒等边三角形是等边三角形是特殊的特殊的等腰三角形，具备等腰三角形，具备等腰三角形等腰三角形的的所有性质：所有性质：任意两边都可以任意两边都可以作为作为腰；腰；任意一个角都任意一个角都可以作为可以作为顶角顶角.知知3 3练练如图如图13.3-5，ABC是是等边三角形，等边三角形，D、E、F分别分别是是三边三边AB、AC、BC上上的点，且的点
11、，且DEAC，EFBC，DFAB，请计算请计算DEF各个各个内角的度数内角的度数.例 4解题秘方解题秘方：紧扣等边三角形的三个紧扣等边三角形的三个内角都等于内角都等于60求解求解.知知3 3练练解：解：ABC是是等边三角形，等边三角形，ABC60.DEAC，EFBC，DFAB，AEDEFCFDB90.ADE90A906030.EDF1803090 60，同理可得同理可得DEFEFD 60，DEF各个各个内角的度数都是内角的度数都是60.知知3 3练练4-1.如图，直线如图，直线ab，等边三角形，等边三角形ABC的顶点的顶点C在在直线直线b上，上，240，则，则1的度数为的度数为()A.80 B
12、.70C.60 D.50A知知3 3练练如图如图13.3-6，等边三角形，等边三角形ABC的的边长为边长为3，D是是AC的的中点中点，点，点E在在BC的的延长线上延长线上.若若DEDB，求，求CE的的长长.例 5知知3 3练练解题秘方解题秘方：利用等边三角形利用等边三角形“三线合一三线合一”的性质的性质将将未知未知线段向线段向已知线段转化已知线段转化.知知3 3练练知知3 3练练知知3 3练练5-1.中考中考益阳益阳 如图如图，ABC为等边三角形为等边三角形，ADBC，AEAD，则，则ADE_.75知知3 3练练如图如图13.3-7，已知，已知ABC为为等边三角形，点等边三角形，点D，E分分别
13、在别在BC，AC边上边上，且，且AECD，AD与与BE相交相交于点于点F.例 6解题秘方解题秘方：利用等边三角形中边相等、利用等边三角形中边相等、角相等且为角相等且为60 的性质的性质进行解答进行解答.知知3 3练练(1)求证求证：ABE CAD；知知3 3练练(2)求求BFD的的度数度数.解：解：ABE CAD，ABECAD.BFDABEBAF，BFDDACBAFBAC60.知知3 3练练6-1.如图，如图，ABC为为等边三角形，等边三角形，D为边为边BA延长线延长线上上一点一点，连结连结CD，以，以CD为为边作边作等边三角形等边三角形CDE，连结连结AE，判断判断AE与与BC的位置关系的位置关系，并说明理由，并说明理由.知知3 3练练解：解：AEBC.理由如下：理由如下：ABC与与CDE都为等边三角形，都为等边三角形，BCAC，CDCE，BACBDCE60.ACBACDDCEACD，即即BCDACE.BCDACE(S.A.S.)BEAC.又又BACB，EACACB.AEBC.等腰三角形的性质等腰三角形的性质等腰等腰三角形三角形特殊特殊性质性质两边相等两边相等等边对等角等边对等角三线合一三线合一等边三角形等边三角形都具有都具有三边相等，三个内角相等三边相等，三个内角相等特性特性
