1、5.7三角函数的应用刷新题夯基础题组一三角函数模型在物理中的应用 1.简谐运动y=4sin5x-3的相位与初相分别是()A.5x-3,3B.5x-3,4C.5x-3,-3D.4,32.已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系式是I=5sin100t+3,则当t=1200 s时,电流强度I为()A.5 AB.2.5 AC.2 AD.-5 A3.一个单摆如图所示,以OA为始边,OB为终边的角与时间t(s)的函数满足:=12sin2t+2,则单摆完成5次完整摆动所花的时间为() A.5 sB.10 sC.52 sD.5 s4.简谐运动y=12sin8x-2的频率f=.5.如图所示,弹簧下挂着的小
2、球做上下振动.开始时小球在平衡位置上方2 cm处,然后小球向上运动,小球的最高点和最低点与平衡位置的距离都是4 cm,每经过 s小球往复振动一次,则小球离开平衡位置的位移y(cm)(假设向上为正)与振动时间x(s)的关系式可以是. 题组二三角函数模型在生活中的应用6.人的心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压,血压计上的读数就是收缩压和舒张压,读数120/80 mmHg为标准值.设某人的血压满足函数式p(t)=102+24sin 160t,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),则下列说法正确的是()A.此人的收缩压和舒张压均高于相应的
3、标准值B.此人的收缩压和舒张压均低于相应的标准值C.此人的收缩压高于标准值,舒张压低于标准值D.此人的收缩压低于标准值,舒张压高于标准值7.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y=3sin6x+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5 B.6 C.8 D.108. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数,五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin t2(t0),则下列时间段内人流量是增加的是()A. 0,5B.5,10 C.10,15D.15,209.稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点,国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影
4、响,某市一房地产中介对该市一楼盘在今年的房价作了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(x+)+9 500(0),已知第一、二季度平均单价如下表所示:x123y10 0009 500则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元10.下图为2021年某市某天6时至14时的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin(x+)+bA0,0,20,0,00,0),现采集到下列信息:最高油价80美元,当t=150时,油价最低,则A的值为,的最小值为.6.()某港口的水深y(米)随着时
5、间t(时)呈现周期性变化,经研究可用y=asin 6t+bcos 6t+c来描述,若潮差(最高水位与最低水位的差)为3米,则a+b的取值范围为.题组三三角函数模型的建立及其应用7.()如图所示,质点P在半径为2的圆周上按逆时针方向运动,其初始位置为P0(2,-2),角速度为1 rad/s,那么点P到x轴的距离d关于时间t(s)的函数图象大致为()8.(2020福建师大附中高一上期末,)如图所示,边长为 1的正方形PABC沿x轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处,点B恰好能经过原点.设动点P的纵坐标关于横坐标的函数解析式为y=f(x),则对函数y=f(x)有下列判断:函数y=f(x)是偶函数;y=f
6、(x)是周期为4的函数;函数y=f(x)在区间10,12上单调递减;函数y=f(x)在区间-1,1上的值域是1,2.其中判断正确的序号是.9.(2020福建南平高一下期末,)某工厂制作如图所示的一种标识,在半径为3的圆内做一个关于圆心对称的“H”型图形,“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成,两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍,设O为圆心,AOB=2,记“H”型图形周长为C,面积为S,则C=,S的最大值为.10.(2020北京一零一中学高一下期末,)如图,以正方形的各边为底可向外作四个腰长为1的等腰三角形,求阴影部分面积的最大值.11.(2020辽宁沈阳铁路实验中学高一下
7、期中,)如图是一个缆车示意图,该缆车的半径为4.8 m,圆上最低点与地面的距离为0.8 m,缆车每60 s转动一圈,图中OA与地面垂直,以OA为始边,逆时针转动角到OB,设B点与地面的距离为h m.(1)求h与之间的函数解析式;(2)设从OA开始转动,经过t s达到OB,求h与t之间的函数解析式,并计算经过45 s后缆车距离地面的高度.答案全解全析刷新题夯基础1.C相位是5x-3,初相是当x=0时的相位,即-3.2.B当t=1200 s时,I=5sin 1001200+3=2.5 A.3.D函数的周期T=22=,5个周期即5,故选D.4.答案116解析因为周期T=28=16,所以简谐运动y=1
8、2sin8x-2的频率f=1T=116.5.答案y=4sin2x+6(答案不唯一)解析不妨设y=Asin(x+)(其中A0,0).由题知A=4,T=,所以=2T=2.当x=0时,y=2,且小球开始向上运动,所以=2k+6,kZ,不妨取=6,故所求关系式可以为y=4sin2x+6.6.C由此人的血压满足函数式p(t)=102+24sin 160t,得此人的收缩压为p(t)max =102+24=126;舒张压为p(t)min =102-24=78,所以此人的收缩压高于标准值,舒张压低于标准值.故选C.7.C由题图易得ymin=k-3=2,则k=5,ymax=k+3=8.8.C由2k-2t22k+
9、2,kZ,得4k-t4k+,kZ,所以函数F(t)=50+4sin t2的增区间为4k-,4k+,kZ.当k=1时,t3,5,而10,153,5,故选C.9.C因为y=500sin(x+)+9 500(0),所以当x=1时,500sin(+)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2+)+9 500=9 500,所以可取32,可取,即y=500sin32x+9 500.当x=3时,y=9 000.10.答案13 解析由题意得A=12(30-10)=10,b=12(30+10)=20,T=2(14-6)=16,2=16,=8,y=10sin8x+20,将x=6,y=10代入得10s
10、in86+20=10,即sin34+=-1,2,=34,y=10sin8x+34+20,x6,14.当x=8时,y=10sin88+34+20=20-5213,即该天8时的温度大约为13 .11.C由题意,设函数关系式为y=Asin(x+)02,则函数的周期T=60 s,0,=-260=-30,A=122+322=1,y=sin-30t+00,0),则-A+b=700,A+b=900,解得A=100,b=800.又周期T=12,=2T=6,y=100sin6t+800.又当t=6时,y=900,900=100sin66+800,sin(+)=1,sin =-1,可取=-2,y=100sin6t
11、-2+800.(2)当t=2时,y=100sin62-2+800=750,即当年3月1日该动物种群的数量估计是750.13.解析(1)设该函数为f(x)=Asin(x+)+B(A0,0,0|),根据条件,可知这个函数的周期是12;由可知, f(2)最小, f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故该函数的振幅为200;由可知, f(x)在2,8上单调递增,且f(2)=100,所以f(8)=500.根据上述分析可得,2=12,故=6,且-A+B=100,A+B=500,解得A=200,B=300.根据分析可知,当x=2时, f(x)最小,当x=8时, f(x)最大,故sin26+=-1,且s
12、in86+=1.又因为0|0,T=41800=1200,即2=1200,则=400.故选D.2.A由题图知A=10,函数的周期T=24300-1300=150,所以=2T=2150=100,则I=10sin(100t+),将点1300,10代入I=10sin(100t+),可得sin3+=1,3+=2+2k,kZ.又0,=6,故函数解析式为I=10sin100t+6,将t=7120代入函数解析式,得I=0.3.BC由题图可知,运动周期为2(0.7-0.3)=0.8 s,故A错误;该质点的振幅为5 cm,B正确;由简谐运动的特点知,质点在0.3 s和0.7 s时运动速度最大,在0.1 s和0.5
13、 s时运动速度为零,故C正确,D错误.故选BC.4.ACD建立如图所示的平面直角坐标系,设(00,所以当k=1时,取得最小值,此时=175-1200=1120.6.答案-322,322解析由题意可知y=asin 6t+bcos 6t+c=a2+b2sin6t+c(为辅助角),由题意可得2a2+b2=3,故a2+b2=94,由a+b22a2+b22=98,解得-322a+b322.故答案为-322,322.7. C 根据点P0的坐标可得xOP0=-4,故xOP=t-4.设点P(x,y),则由三角函数的定义,可得sinxOP=y2,即sint-4=y2,故y=2sint-4,因此点P到x轴的距离d
14、=|y|=2sint-4,根据解析式可得C选项中的图象符合条件,故选C.8.答案解析当-2x-1时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的14圆,当-1x1时,P的轨迹是以B为圆心,2为半径的14圆,当1x2时,P的轨迹是以C为圆心,1为半径的14圆,当2x3时,P的轨迹是以A为圆心,1为半径的14圆,故函数的周期为4.最终构成图象如图所示:根据图象的对称性可知函数y=f(x)是偶函数,故正确;f(x)的周期为4,故正确;函数y=f(x)在区间2,4上为增函数,故在区间10,12上也是增函数,故错误;函数y=f(x)在区间-1,1上的值域是1,2,故正确.综上,正确的序号是.9.答案28sin +6
15、cos ;813-16信息提取在半径为3的圆内作一个关于圆心对称的“H”型图形;“H”型图形由两竖一横三个等宽的矩形组成,两个竖起来的矩形全等且它们的长边是横向矩形长边的32倍;AOB=2.数学建模利用已知条件及矩形的周长公式、面积公式,建立周长、面积和的函数关系,再利用三角函数知识求出最大值.解析如图所示,过O作OMAB,垂足为M,OM交CD于N,则M,N分别为AB,CD的中点.设横向矩形为EFGH.因为AB=2AM=6sin ,AB=32EF,所以EF=23AB=4sin ,所以AD=MN=OM-ON=OM-12EF=3cos -2sin .故C=46sin +2(3cos -2sin )
16、+24sin =28sin +6cos .S=2S矩形ABCD+S矩形EFGH=2S矩形ABCD+23S矩形ABCD=83S矩形ABCD=836sin (3cos -2sin )=48sin cos -32sin2=24sin 2-321-cos22=24sin 2+16cos 2-16=813sin(2+)-16,其中tan =23.当sin(2+)=1时,S取得最大值,为813-16.故答案为28sin +6cos ;813-16.9. 解析设等腰三角形的底角为02,则等腰三角形的底边长为2cos ,高为sin ,故阴影部分的面积为4122cos sin +(2cos )2=2sin 2+2cos 2+2=22sin2+4+2,当=8时,阴影部分的面积最大,为2+22.11.解析(1)以圆心O为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则以Ox为始边,OB为终边的角为-2,故点B的坐标为4.8cos-2,4.8sin-2,h=5.6+4.8sin-2=5.6-4.8cos .(2)易知点A在圆上转动的角速度是260=30,故t s转过的弧度数为30t,h=5.6-4.8cos 30t,t0,+).当t=45 s时,h=5.6.即经过45 s后缆车距离地面的高度为5.6 m.警示解题时要注意:在平面直角坐标系中,以Ox为始边,OB为终边的角不是,而是-2.
